VI

Pondremos las razones inconmensurables

con las fracciones, y consideremos el conjunto completo de números enteros, números fraccionarios y números inconmensurables como formando una clase de números a la que llamaremos "números reales". Siempre pensamos en los números reales como dispuestos en orden de magnitud, comenzando desde cero y ascendiendo, y volviéndose indefinidamente más y más grandes a medida que avanzamos. Los números reales son convenientemente

representados por puntos en una línea. Sea $OX$ cualquier línea limitada en $O$ y que se extiende indefinidamente en la dirección $OX$. Tómese cualquier punto conveniente, $A$, en ella, de modo que $OA$ represente la unidad de longitud; y divídanse longitudes $AB$, $BC$, $CD$, y así sucesivamente, cada una igual a $OA$. Entonces el punto $O$ representa el número $0$, $A$ el número $1$, $B$ el número $2$, y así sucesivamente. De hecho, el número representado por cualquier punto es la medida de su distancia desde $O$, en términos de la unidad de longitud $OA$. Los puntos entre $O$ y $A$ representan las fracciones propias y los números inconmensurables menores que $1$; el punto medio de $OA$ representa ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, el de $AB$ representa ${\displaystyle \frac{3}{2}}$, el de $BC$ representa ${\displaystyle \frac{5}{2}}$, y así sucesivamente. De esta manera, cada punto en $OX$ representa algún número real, y cada número real está representado por algún punto en $OX$.

La serie (o fila) de puntos a lo largo de $OX$,

partiendo de $O$ y moviéndose regularmente en la dirección de $O$ a $X$, representa los números reales dispuestos en orden ascendente

de tamaño, comenzando desde cero y aumentando continuamente a medida que avanzamos.

Todo esto parece bastante sencillo, pero incluso a

en esta etapa hay algunas ideas interesantes que se pueden obtener al reflexionar sobre estos hechos evidentes. Consideremos la serie de puntos que representan únicamente los números enteros, a saber, los puntos $O$, $A$, $B$, $C$, $D$, etc. Aquí hay un primer punto $O$, un punto siguiente definido $A$, y cada punto, como $A$ o $B$, tiene un predecesor inmediato definido y un sucesor inmediato definido, con la excepción de $O$, que no tiene predecesor; además, la serie continúa indefinidamente sin fin. A este tipo de orden se le llama tipo de orden de los números enteros; su esencia es la posesión de vecinos inmediatos a ambos lados, con la excepción del n.º 1 en la fila. Consideremos ahora los números enteros y las fracciones juntos, omitiendo los puntos que corresponden a las razones inconmensurables. El tipo de orden serial que obtenemos ahora es bastante diferente. Hay un primer término $O$; pero ningún término tiene un predecesor inmediato ni un sucesor inmediato. Es fácil ver que este es el caso, pues entre dos fracciones cualesquiera siempre podemos encontrar otra fracción de valor intermedio. Una forma muy sencilla de hacer esto es sumar las fracciones y dividir el resultado por dos. Por ejemplo,

entre $\frac{2}{3}$ y $\frac{3}{4}$, se encuentra la fracción $\frac{1}{2}(\frac{2}{3}+\frac{3}{4})$, es decir $\frac{17}{24}$; y entre $\frac{2}{3}$ y $\frac{17}{24}$ la

la fracción 1 2 ( 2 3 + 17 24 ) , es decir 33 48 , se encuentra; y así sucesivamente de forma indefinida. Debido a esta propiedad, se dice que la serie es «compacta». No hay un punto final para la serie, la cual aumenta indefinidamente sin límite a medida que avanzamos a lo largo de la recta O X . A primera vista, parecería que el