Generalizaciones de Número

Una gran peculiaridad de las matemáticas es el conjunto de ideas afines que se han inventado en relación con los números enteros de los que partimos. Estas ideas pueden llamarse extensiones o generalizaciones del número.

En primer lugar está la idea de las fracciones. El tratado de aritmética más antiguo que poseemos fue escrito por un sacerdote egipcio llamado Ahmes, entre 1700 y 1100 a. C., y probablemente sea una copia de una obra mucho más antigua. Trata en gran medida sobre las propiedades de las fracciones. Parece, por tanto, que este concepto se desarrolló muy temprano en la historia de las matemáticas.

En efecto, el tema es de lo más evidente. Dividir un campo en tres partes iguales y tomar dos de ellas debió de ser un tipo de operación que ocurría con frecuencia. En consecuencia, no debe sorprendernos que los hombres de civilizaciones remotas estuvieran familiarizados con la idea de dos tercios y con nociones afines.

Así pues, situamos el concepto de fracciones como la primera generalización del número. Los griegos concebían este tema más bien bajo la forma de proporción, de modo que un griego diría naturalmente que una línea de dos pies de longitud guarda con una línea de tres pies de longitud la proporción de $2$ a $3$. Bajo la influencia de nuestra notación algebraica, diríamos con más frecuencia que una línea tenía dos tercios de la longitud de la otra, y pensaríamos en los dos tercios como un multiplicador numérico.

En relación con la teoría de la razón, o de las fracciones, los griegos hicieron un gran descubrimiento, que ha dado lugar a una gran cantidad de reflexión tanto filosófica como matemática.

Descubrieron la existencia de razones "inconmensurables". Probaron, de hecho, en el curso de sus investigaciones geométricas que, partiendo de una línea de cualquier longitud, deben existir otras cuyas longitudes no guardan con la longitud original la razón de ningún par de enteros—o, en otras palabras, que existen longitudes que no son ninguna fracción exacta de la longitud original.

Por ejemplo, la diagonal de un cuadrado no se puede expresar como ninguna fracción del lado del mismo cuadrado; en nuestra anotación moderna, la longitud de la diagonal es $\sqrt{2}$ veces la longitud del lado.

Pero no existe ninguna fracción que represente exactamente a $\sqrt{2}$. Podemos aproximarnos a $\sqrt{2}$ tanto como queramos, pero nunca alcanzamos exactamente su valor.

Por ejemplo, ${\displaystyle \frac{49}{25}}$ es justo menor que $2$, y ${\displaystyle \frac{9}{4}}$ es mayor que $2$, de modo que $\sqrt{2}$ se encuentra entre ${\displaystyle \frac{7}{5}}$ y ${\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Pero la mejor manera sistemática de aproximarse a $\sqrt{2}$ obteniendo una serie de fracciones decimales, cada una mayor que la anterior, es mediante el método ordinario de extracción de la raíz cuadrada; así, la serie es $1$, ${\displaystyle \frac{14}{10}}$, ${\displaystyle \frac{141}{100}}$, ${\displaystyle \frac{1414}{1000}}$, y así sucesivamente.