Comenzaremos con un caso particular. Consideremos la afirmación 2 + 3 = 5 . Sumamos 3 a 2 y obtenemos 5 . Pensemos en la operación de sumar 3 : que esta sea denotada por + 3 . Asimismo, 4 − 3 = 1 . Pensemos en la operación de restar 3 : que esta sea denotada por − 3 . Así, en lugar de considerar los números reales en sí mismos, consideramos las operaciones de sumarlos o restarlos: en lugar de 2 , consideramos + 2 y − 2 , es decir, las operaciones de sumar 2 y de restar 2 . Entonces podemos sumar estas operaciones, por supuesto en un sentido de la suma diferente de aquel en el que sumamos números. La suma de dos operaciones es la única operación que tiene el mismo efecto que las dos operaciones aplicadas sucesivamente. ¿En qué orden deben aplicarse las dos operaciones? La respuesta es que es indiferente, ya que, por ejemplo, 2 + 3 + 1 = 2 + 1 + 3 ; de modo que la suma de los pasos + 3 y + 1 es conmutativa.
Los matemáticos tienen la costumbre, desconcertante para quienes se dedican a desentrañar significados pero muy práctica en la ejecución, de utilizar el mismo símbolo en sentidos diferentes aunque emparentados.
El único requisito esencial para un símbolo, a sus ojos, es que, cualesquiera sean sus posibles variedades de significado, las leyes formales para su empleo sean siempre las mismas. De acuerdo con esta costumbre, la suma de operaciones se denota mediante al igual que la suma de números.
En consecuencia, podemos escribir donde el central del lado izquierdo denota la suma de las operaciones y .
Pero, además, no necesitamos ser tan sumamente pedantes en nuestro simbolismo, excepto en los raros casos en los que rastreamos directamente los significados; así, siempre omitimos el primer de una línea y los paréntesis, y nunca escribimos dos signos seguidos.
De este modo, la ecuación anterior se convierte en que interpretamos como una simple suma numérica, o como la suma de operaciones más elaborada que se expresa plenamente en la forma anterior de escribir la ecuación, o por último como la expresión del resultado de aplicar la operación al número y obtener el número .
Cualquier interpretación que sea posible es siempre correcta. Pero la única interpretación que es siempre posible, bajo ciertas condiciones, es la de las operaciones. Las otras interpretaciones a menudo dan resultados absurdos.
Esto nos conduce de inmediato a una pregunta que debe de haber estado formándose con insistencia en la mente del lector: ¿De qué sirve toda esta elaboración? En este punto, nuestro amigo el hombre práctico seguramente intervendrá e insistirá en barrer todas estas tontas telarañas del cerebro. La respuesta es que lo que el matemático busca es la Generalidad. Esta es una idea digna de ser colocada junto a las nociones de Variable y de Forma en lo que concierne a su importancia para regir el procedimiento matemático. Cualquier limitación, sea cual fuere, sobre la generalidad de los teoremas, de las demostraciones o de la interpretación es aborrecible para el instinto matemático. Estas tres nociones —la variable, la forma y la generalidad—