Geometría
La geometría, al igual que el resto de las matemáticas, es
abstracto. En él se estudian las propiedades de las formas y las posiciones relativas de las cosas. Pero no necesitamos considerar quién está observando las cosas, ni si las conoce a través de la vista, el tacto o el oído. En resumen, ignoramos todas las sensaciones particulares. Además, se ignoran las cosas particulares, como las Casas del Parlamento o el globo terráqueo. Cada proposición se refiere a cualesquiera cosas con tales o cuales propiedades geométricas. Por supuesto, ayuda a nuestra imaginación observar ejemplos particulares de esferas, conos, triángulos y cuadrados. Pero las proposiciones no se aplican meramente a las figuras reales impresas en el libro, sino a cualesquiera figuras de ese tipo.
Así, la geometría, al igual que el álgebra, está dominada por las ideas de cosas «cualesquiera» y «algunas» cosas. Además, del mismo modo, estudia las interrelaciones de conjuntos de cosas. Por ejemplo, consideremos dos triángulos cualesquiera y .
¿Qué relaciones deben existir entre algunos de
las partes de estos triángulos, ¿a fin de que los triángulos sean en todos los aspectos iguales? Esta es una de las primeras investigaciones emprendidas en todas las geometrías elementales. Es un estudio 33 de un cierto conjunto de posibles correlaciones entre los dos triángulos. La respuesta es que los triángulos son en todos los aspectos iguales, si:–- O bien, (a) Dos lados del uno y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a dos lados del otro y el ángulo comprendido:
O, (b) dos ángulos de uno y el lado que los une son respectivamente iguales a dos ángulos del otro y al lado que los une:
O, (c) tres lados del uno son respectivamente iguales a tres lados del otro.
Esta respuesta sugiere de inmediato una indagación adicional. ¿Cuál es la naturaleza de la correlación entre los triángulos cuando los tres ángulos de uno son respectivamente iguales a los tres ángulos del otro? Esta investigación ulterior nos conduce a toda la teoría de la semejanza.
(cf. XIII.), que es otro tipo de correlación.
De nuevo, para tomar otro ejemplo, consideremos la estructura interna del triángulo . Sus lados y ángulos están interrelacionados: el ángulo mayor es opuesto al lado mayor, y los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. Si pasamos a la trigonometría, esta correlación recibe una determinación más exacta en la forma familiar , con dos fórmulas similares.
Existe también la correlación aún más sencilla entre los ángulos del triángulo, a saber, que su suma es igual a dos ángulos rectos; y entre los tres lados, a saber, que la suma de las longitudes de cualesquiera dos de ellos es mayor que la longitud del tercero.