Pensemos en algunos ejemplos de funciones que se nos presentan en la naturaleza, a fin de hacernos una idea clara del verdadero significado de la continuidad y la discontinuidad. Consideremos un tren en su recorrido a lo largo de una línea ferroviaria, digamos desde la estación de Euston, la terminal en Londres del ferrocarril de Londres y el Noroeste. A lo largo de la línea se encuentran, en orden, las estaciones de Bletchley y Rugby. Sea el número de horas que el tren lleva de viaje desde Euston, y el número de millas recorridas. Entonces es una función de , es decir, es el valor variable correspondiente al argumento variable .
Si conocemos las circunstancias del trayecto del tren, conocemos tan pronto como se nos da cualquier valor especial de . Ahora bien, dejando de lado los milagros, podemos asumir con confianza que es una función continua de . Es imposible contemplar la contingencia de que podamos seguir el tren de forma continua desde Euston hasta Bletchley y que luego, sin ningún tiempo intermedio, por breve que sea, aparezca en Rugby. La idea es demasiado fantástica para entrar en nuestros cálculos: contempla posibilidades que no se encuentran fuera de Las mil y una noches; e incluso en esos relatos, la pura discontinuidad del movimiento apenas entra en la imaginación, pues no se atreven a poner a prueba nuestra credulidad con nada más que una velocidad muy inusual. Pero una velocidad inusual no es ninguna contradicción a la gran ley de la continuidad del movimiento que parece regir en la naturaleza. Así, la luz se desplaza a una velocidad de unas millas por segundo y nos llega desde el sol en siete u ocho minutos; pero, a pesar de esta velocidad, la distancia que recorre es siempre una función continua del tiempo.
No nos resulta tan evidente que la velocidad de un cuerpo sea invariablemente una función continua del tiempo. Consideremos el tren en cualquier instante : se mueve con una velocidad determinada, digamos millas por hora, donde es cero cuando el tren está detenido en una estación y es negativa cuando el tren retrocede. Ahora bien, admitimos fácilmente que no puede cambiar su
valor repentino para un tren grande y pesado. Sin duda, el tren no puede ir a cuarenta millas por hora desde las 11:45 a. m. hasta el mediodía y, de repente, sin que pase tiempo alguno, comenzar a ir a millas por hora. Admitimos de inmediato que el cambio de velocidad será un proceso gradual. Pero ¿qué hay de los golpes repentinos de magnitud adecuada? Supongamos que dos trenes chocan; o, para tomar objetos más pequeños, supongamos que un hombre patea un balón de fútbol. Ciertamente, a nuestros sentidos les parece como si el balón comenzara a moverse de repente. Así, en el caso de la velocidad, nuestros sentidos no se rebelan ante la idea de que sea una función discontinua del tiempo, como lo hicieron ante la idea de que el tren fuera transportado instantáneamente de Bletchley a Rugby. De hecho, si las leyes del movimiento, con su concepción de la masa, son ciertas, no existe tal cosa como una velocidad discontinua en la naturaleza. Cualquier cosa que aparezca ante nuestros sentidos como un cambio discontinuo de velocidad debe, según ellas, considerarse un caso de cambio gradual que es demasiado rápido para que lo percibamos. Sería imprudente, sin embargo, apresurarse a generalizar que no se nos presentan funciones discontinuas en la naturaleza. Un hombre que, confiando en que la altura media de la tierra sobre el nivel del mar entre Londres y París era una función continua de la distancia desde Londres, caminara de noche por el Shakespeare's
Cliff junto a Dover, en contemplación de la Vía Láctea, habría muerto antes de haber tenido tiempo de reorganizar sus ideas sobre la necesidad de cautela en las conclusiones científicas.
Es muy fácil encontrar una función discontinua, incluso si nos limitamos a las 21 fórmulas algebraicas más sencillas. Por ejemplo, tomemos la función , que ya hemos considerado en la forma , donde estaba restringida a valores positivos. Pero