Secciones cónicas

La discriminación de los tipos particulares de cónicas dados por esta forma de ecuación es muy sencilla. Depende enteramente de la consideración de a b − h 2 , donde a , b y h son las "constantes" tal como se escribieron arriba. Si a b − h 2 es un número positivo, la curva es una elipse; si a b − h 2 = 0 , la curva es una parábola; y si a b − h 2 es un número negativo, la curva es una hipérbola.

Por ejemplo, hagamos $a = b = 1$ , $h = g = f = 0$ , $c = - 4$ . Obtenemos entonces la ecuación $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ . Es fácil demostrar que esta es la ecuación de una circunferencia, cuyo centro está en el origen y su radio es de $2$ unidades de longitud.

Ahora $a b - h^{2}$ se convierte en $1 \times 1 - 0^{2}$ , es decir, $1$ , y por lo tanto es positivo. De ahí que la circunferencia sea un caso particular de una elipse, como debe ser.

Generalizando, la ecuación de cualquier circunferencia puede ponerse en la forma $a (x^{2} + y^{2}) + 2 g x + 2 f y + c = 0$ . Por lo tanto, $a b - h^{2}$ se convierte en $a^{2} - 0$ , es decir, $a^{2}$ , que es necesariamente positivo. En consecuencia, todas las circunferencias satisfacen la condición para las elipses.

La forma general de la ecuación de una parábola es $(d x + e y)^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0$ , de modo que los términos de segundo grado, como se les llama, pueden escribirse como un cuadrado perfecto. Al desarrollar el cuadrado, obtenemos $d^{2} x^{2} + 2 d e x y + e^{2} y^{2} + 2 g x + 2 f y + c$ ; de modo que, por comparación, $a = d^{2}$ , $h = d e$ , $b = e^{2}$ y, por lo tanto, $a b - h^{2} = d^{2} e^{2} - (d e)^{2} = 0$ . De este modo, la condición necesaria se satisface automáticamente.

La ecuación $2 x y - 4 = 0$ , donde $a = b = g = f = 0$ , $h = 1$ , $c = - 4$ , representa una hipérbola. Pues la condición $a b - h^{2}$ se convierte en $0 - 1^{2}$ , es decir, $- 1$ , que es negativa.

plus 0.75em minus 0.25em

La limitación, introducida al decir que, cuando la ecuación general representa cualquier lugar geométrico, representa una sección cónica, es necesaria, porque algunos casos particulares de la ecuación general no representan ningún lugar geométrico real. Por ejemplo, $x^{2} + y^{2} + 1 = 0$ no puede ser satisfecha por ningún valor real de $x$ e $y$ . Es habitual decir que el lugar geométrico está compuesto ahora por puntos imaginarios. Pero esta idea de los puntos imaginarios en geometría es en realidad de una gran complejidad, en la que no entraremos ahora.

Se incluyen en la forma general de la ecuación algunos casos excepcionales que tal vez no se reconozcan inmediatamente como secciones cónicas. Eligiendo adecuadamente las constantes, se puede hacer que la ecuación represente dos líneas rectas. Ahora bien, se puede afirmar con justicia que dos líneas rectas que se cortan entran dentro de la idea griega de sección cónica. Pues, si se consulta la imagen del cono doble anterior, se verá que algunos planos que pasan por el vértice, $V$ , cortarán el cono en un par de líneas rectas que se cortan en $V$ . El caso de dos líneas rectas paralelas puede incluirse considerando un cilindro circular como un caso particular de cono. Entonces, un plano que lo corte y sea paralelo a su eje lo cortará en dos líneas rectas paralelas. De