XIV. Series

Una función importante estrechamente relacionada con la función exponencial se encuentra al sustituir $- x^{2}$ por $x$ como argumento en la función exponencial.

Obtenemos así $\exp (- x^{2})$ . La gráfica $y = \exp (- x^{2})$ se da en la [fig.]30. 30

La curva, que se parece a un sombrero de tres picos, se denomina curva de error normal. Su función correspondiente es de vital importancia para la teoría de la estadística y nos indica en muchos casos el tipo de desviaciones de los resultados medios que debemos esperar.

Otra función importante se encuentra al combinar la función exponencial con el seno, de este modo:–- $y = \exp (- c x) \times \sin \frac{2 π x}{p} .$ 31

Su gráfica se da en la [fig.]31. Los puntos $A$ , $B$ , $O$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ están situados a intervalos iguales de $\frac{1}{2} p$ , y debe trazarse una serie interminable de ellos hacia adelante y hacia atrás.

Esta función representa la extinción de las vibraciones bajo la influencia de la fricción o de fuerzas de «amortiguación». Aparte de la fricción, las vibraciones serían periódicas, con un período $p$ ; pero la influencia de la fricción hace que la amplitud de cada vibración sea menor que la de la precedente en un porcentaje constante de dicha amplitud.

Esta combinación de la idea de «periodicidad» (que requiere el seno o el coseno para su simbolismo) y de «porcentaje constante» (que requiere la función exponencial para su simbolismo) es la razón de la forma de esta función, a saber, su forma como producto de una función seno por una función exponencial.