XV

Compare esta definición con la que ya se ha dado para la continuidad, a saber:–-

Una función $f(x)$ es continua en un valor $a$ de su argumento, cuando en la vecindad de $a$ sus valores se aproximan a su valor en $a$ dentro de cualquier estándar de aproximación.

Resulta evidente de inmediato que una función es continua en $a$ cuando (i) posee un límite en $a$, y (ii) dicho límite es igual a su valor en $a$. Por tanto, las ilustraciones de continuidad que se han dado al final del apartado XI. son ilustraciones de la idea de límite; es decir, todas estaban dirigidas a probar que $f(a)$ era el límite de $f(x)$ en $a$ para las funciones consideradas y el valor de $a$ considerado. En realidad, es más instructivo considerar el límite en un punto donde una función no es continua. Por ejemplo, consideremos la función cuyo gráfico se da en la [fig.] 20 del apartado XI. Esta función $f(x)$ está definida de modo que tiene el valor $1$ para todos los valores del argumento excepto para los enteros $0$, $1$, $2$, $3$, etc., y para estos valores enteros tiene el valor $0$. Ahora pensemos en su límite cuando $x=3$. Observamos que en la definición de límite se excluye el valor de la función en $a$ (en este caso, $a=3$). Pero, excluyendo $f(3)$, los valores de $f(x)$, cuando $x$ se encuentra dentro de cualquier intervalo que (i) contenga al $3$ sin ser un punto extremo, y (ii) no se extienda hasta el $2$ y el $4$, son todos iguales a $1$; y, por tanto, estos valores se aproximan a $1$ dentro de cualquier estándar de aproximación. De ahí que $1$ sea el límite de $f(x)$ en el

valor $3$ del argumento $x$, pero por definición $f(3)=0$.

Este es un ejemplo de una función que posee tanto un valor como un límite en el valor $3$ del argumento, pero el valor no es igual al límite. Al final de XI. se consideró la función $x^2$ en el valor $2$ del argumento. Su valor en $2$ es $2^2$, es decir, $4$, y se demostró que su límite también es $4$. Por lo tanto, aquí tenemos una función con un valor y un límite que son iguales.

Finalmente llegamos al caso que es esencialmente importante para nuestros propósitos, a saber, a una función que posee un límite, pero ningún valor definido en un cierto valor de su argumento. No necesitamos ir muy lejos para buscar tal función; ${\displaystyle \frac{2x}{x}}$ servirá para nuestro propósito. Ahora bien, en cualquier libro de matemáticas, podríamos encontrar la ecuación ${\displaystyle \frac{2x}{x}}=2$, escrita sin vacilación ni comentario. Pero hay una dificultad en esto; pues cuando $x$ es cero, ${\displaystyle \frac{2x}{x}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$; y ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ no tiene un significado definido. Por lo tanto, el valor de la función ${\displaystyle \frac{2x}{x}}$ en $x=0$ no tiene un definido

significado. Pero para cualquier otro valor de $x$, el valor de la función ${\displaystyle \frac{2x}{x}}$ es $2$. Por tanto, el límite de ${\displaystyle \frac{2x}{x}}$ en $x=0$ es $2$, y no tiene valor en $x=0$. De forma similar, el límite de ${\displaystyle \frac{x^2}{x}}$ en $x=a$ es $a$ sea cual sea $a$, de modo que el límite de ${\displaystyle \frac{x^2}{x}}$ en $x=0$ es $0$. Pero el valor de ${\displaystyle \frac{x^2}{x}}$ en $x=0$ toma la forma ${\displaystyle \frac{0}{0}}$, la cual no tiene un significado definido. Así, la función ${\displaystyle \frac{x^2}{x}}$ tiene un límite pero no un valor en $0$.

Volvemos ahora al problema con el que iniciamos esta discusión sobre la naturaleza de un límite. ¿Cómo vamos a definir la tasa de incremento de la función $x^2$ en cualquier valor $x$ de su argumento? Nuestra respuesta es que esta tasa de incremento es el límite de la función ${\displaystyle \frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}}$ en el valor cero para su argumento $h$. (Nótese que $x$ es aquí una "constante"). Veamos cómo funciona esta respuesta