transformarse en un número indefinido de formas equivalentes. Por ejemplo, la relación x + y = 1 es equivalente a las relaciones y + x = 1 , ( x − y ) + 2 y = 1 , 6 x + 6 y = 6 , y así sucesivamente. Por lo tanto, un matemático hábil utiliza aquella forma equivalente de la relación bajo consideración que sea más conveniente para su propósito inmediato.
No es en general cierto que, cuando un par de términos satisfacen alguna relación fija, si se da uno de los términos, el otro también quede determinado de manera definida. Por ejemplo, cuando e satisfacen , si , puede ser ; por lo tanto, para cualquier valor positivo de hay valores alternativos para . Asimismo, en la relación , cuando se da o , queda abierto un número indefinido de valores para el otro.
De nuevo hay que señalar otro punto importante.
Si nos limitamos a los números positivos, enteros o fraccionarios, al considerar la relación , entonces, si o es mayor que , no hay ningún número positivo que el otro pueda tomar para satisfacer la relación.
Así, el «campo» de la relación para está limitado a los números menores que , y de manera similar para el «campo» abierto a .
De nuevo, consideremos únicamente los números enteros, positivos o negativos, y tomemos la relación
, satisfecho por pares de dichos números.
Luego, cualquiera que sea el valor entero que se le dé a , puede asumir un valor entero correspondiente. Así que el "campo" para no tiene restricciones entre estos enteros positivos o negativos.
Pero el "campo" para está restringido de dos maneras. En primer lugar, debe ser positivo y, en segundo lugar, dado que ha de ser entero, debe ser un cuadrado perfecto.
En consecuencia, el "campo" de está restringido al conjunto de los enteros , , , , y así sucesivamente, es decir, a , , , , y así sucesivamente.
El estudio de las propiedades generales de una relación entre pares de números se facilita mucho con el uso de un diagrama construido de la siguiente manera: 1
Trazarse dos rectas O X y O Y en ángulo recto; represéntese cualquier número x mediante x unidades (en cualquier escala) de longitud a lo largo de O X , y cualquier número y mediante y unidades (en cualquier escala) de longitud a lo largo de O Y . Así, si O M , a lo largo de O X , tiene una longitud de x unidades, y O N , a lo largo de O Y , tiene una longitud de y unidades, al completar el paralelogramo O M P N hallamos un punto P que corresponde al par de números x e y . A cada punto le corresponde un par de números, y a cada par de números le corresponde un punto. El par de números se denomina las coordenadas del punto. Entonces, los puntos cuyas coordenadas satisfacen alguna relación fija pueden indicarse de manera conveniente trazando una línea, si todos ellos yacen sobre una línea, o sombreando un área si son todos puntos del área.