XIV. Series

no resiste el riguroso escrutinio de las matemáticas modernas. ¿Qué se entiende por suficientemente grande, por casi igual y por se desee? Todas estas frases vagas deben explicarse en términos de las ideas abstractas simples que son las únicas admitidas en las matemáticas puras.

Sean $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$, $\dots$, $u_n$, etc., los términos sucesivos de la serie, de modo que $u_n$ es el $n$-ésimo término de la serie. Sea también $s_n$ la suma de los primeros $n$ términos, sea cual sea $n$. De modo que:--

$$\begin{gathered} s_1=u_1,s_2=u_1+u_2,s_3=u_1+u_2+u_3,\text{y} \\ {s}_n=u_1+u_2+u_3+\dots +u_n. \end{gathered}$$

Luego los términos $s_1$, $s_2$, $s_3$, ..., $s_n$ forman una nueva serie, y la formación de esta serie es el proceso de sumación de la serie original. Entonces la "aproximación" de la sumación de la serie original a un "límite" significa la "aproximación de los términos de esta nueva serie a un límite". Y ahora tenemos que explicar qué queremos decir con la aproximación a un límite de los términos de una serie.

Ahora, recordando la definición (dada en el [capítulo] XII) de un grado de aproximación, la idea de un límite significa esto: $l$ es el límite de los términos de la serie $s_1$, $s_2$, $s_3$, , $s_n$, , si, correspondiendo a cada número real $k$, tomado como grado de aproximación, se puede encontrar un término $s_n$ de la serie de modo que todos los términos sucesivos (es decir, $s_{n+1}$, $s_{n+2}$, etc.) se aproximen a $l$ dentro de ese grado de aproximación.

Si se elige otro grado menor $k^1$, el término $s_n$ puede ser demasiado temprano en la serie, y entonces se encontrará un término posterior $s_m$ con la propiedad anterior.