XI

Si comprendemos las ideas precedentes, comprendemos los fundamentos de las matemáticas modernas. Recurriremos a ideas análogas en el capítulo sobre Series, y de nuevo en el capítulo sobre el Cálculo Diferencial.

Mientras tanto, ahora estamos preparados para definir las «funciones continuas». Una función $f(x)$ es «continua» en un valor $a$ de su argumento cuando, en el entorno de $a$, sus valores se aproximan a $f(a)$ (es decir, a su valor en $a$) dentro de cualquier estándar de aproximación.

Esto significa que, sea cual sea el estándar $k$ que se elija, en la vecindad de $a$, $f(x)$ se aproxima a $f(a)$ dentro del estándar $k$. Por ejemplo, $x^2$ es continua en el valor $2$ de su argumento, $x$, porque, por mucho que se elija $k$, siempre podemos encontrar un intervalo que (i) contenga a $2$ sin que sea uno de sus puntos extremos, y (ii) sea tal que los valores de $x^2$ para los argumentos que se encuentran dentro de él se aproximen a $4$ (es decir, $2^2$) dentro del estándar $k$. Así, supongamos que elegimos el estándar $\mathrm{.1}$; ahora, $(1.999{)}^2=3.996001$ y $(2.01{)}^2=4.0401$, y ambos números difieren de $4$ en menos de $\mathrm{.1}$. Por lo tanto, dentro del intervalo de $1.999$ a $2.01$, los valores de $x^2$ se aproximan a $4$ dentro del estándar $\mathrm{.1}$. De manera similar, se puede producir un intervalo para cualquier otro estándar que queramos probar.

Tomemos el ejemplo del tren ferroviario. Su velocidad es continua mientras pasa por la caseta de señales si, para cualquier velocidad que se desee asignar (digamos, una millonésima de milla por hora), se puede encontrar un intervalo de tiempo que se extienda antes y después del instante de paso, de tal modo que en todos los instantes dentro de él la velocidad del tren

difiere de aquella con la que el tren pasó la caja en menos de una millonésima de milla por hora; y lo mismo es cierto sea cual sea la otra velocidad que se mencione en lugar de una millonésima de milla por hora.