Es fácil encontrar funciones para las cuales la representación gráfica no solo es inconveniente, sino imposible. Las funciones que no se prestan a ser graficadas son importantes en las matemáticas superiores, pero no necesitamos ocuparnos más de ellas aquí.
La división más importante entre funciones es la que existe entre las funciones continuas y las discontinuas.
Una función es continua cuando su valor solo se altera de forma gradual ante alteraciones graduales del argumento, y es discontinua cuando puede alterar su valor mediante saltos repentinos.
Así, las dos funciones y , cuyas gráficas se representan como líneas rectas en la [fig.] 14 del cap. IX., son funciones continuas, y también lo es la función , representada en la II., si solo consideramos valores positivos de .
Pero la función representada en la [fig.] 20 de este capítulo es discontinua, ya que en los valores , , etc., de su argumento, su valor experimenta saltos repentinos.
Pensemos en algunos ejemplos de funciones que nos presenta la naturaleza, con el fin de grabarnos bien en la cabeza el verdadero significado de la continuidad y la discontinuidad.
Consideremos un tren en su viaje a lo largo de una línea ferroviaria, por ejemplo, desde la estación de Euston, la terminal en Londres del Ferrocarril de Londres y del Noroeste. A lo largo de la línea se encuentran, en orden, las estaciones de Bletchley y Rugby.
Sea el número de horas que el tren lleva de viaje desde Euston, y el número de millas recorridas. Entonces es una función de , es decir, es el valor variable correspondiente al argumento variable .
Si conocemos las circunstancias de la marcha del tren, conocemos tan pronto como se da cualquier valor especial de .
Ahora bien, milagros aparte, podemos asumir con confianza que es una función continua de . Es imposible admitir la contingencia de que podamos seguir el tren continuamente desde Euston hasta Bletchley, y que luego, sin ningún tiempo intermedio, por corto que sea, aparezca en Rugby.
La idea es demasiado fantástica para entrar en nuestro cálculo: contempla posibilidades que no se encuentran fuera de las Mil y una noches; y aun en esos relatos la pura discontinuidad del movimiento apenas entra en la imaginación, pues no se atreven a poner a prueba nuestra credulidad con nada más que una velocidad muy inusual.
Pero una velocidad inusual no contradice la gran ley de la continuidad del movimiento que parece cumplirse en la naturaleza. Así, la luz se desplaza a una velocidad de unas millas por segundo y nos llega desde el sol en siete u ocho minutos; pero, a pesar de esta velocidad, la distancia recorrida es siempre una función continua del tiempo.
No nos resulta tan obvio que la velocidad de un cuerpo sea invariablemente una función continua del tiempo. Consideremos el tren en cualquier instante : se mueve con cierta velocidad definida, digamos millas por hora, donde es cero cuando el tren está detenido en una estación y es negativo cuando el tren retrocede. Ahora