Cantidad
En el capítulo anterior señalamos que las longitudes son medibles en términos de cierta longitud unitaria, las áreas en términos de un área unitaria y los volúmenes en términos de un volumen unitario.
Cuando tenemos un conjunto de cosas, tales como longitudes, que son medibles en términos de cualquiera de ellas, decimos que son magnitudes de la misma especie.
- Así, las longitudes son magnitudes de la misma especie, al igual que las áreas y los volúmenes.
- Pero un área no es una magnitud de la misma especie que una longitud, ni tampoco es de la misma especie que un volumen.
Pensemos un poco más en lo que significa ser medible, tomando las longitudes como ejemplo.
Las longitudes se miden con la regla de pie. Al transportar la regla de pie de un lugar a otro, juzgamos la igualdad de las longitudes. Además, tres longitudes adyacentes, cada una de un pie, forman una longitud total de tres pies. Por lo tanto, para medir longitudes tenemos que determinar la igualdad de las longitudes y la suma de las longitudes.
Cuando se ha aplicado alguna prueba, como el transporte de una regla de pie, decimos que las longitudes son iguales; y cuando se ha aplicado algún proceso para lograr que las longitudes sean contiguas y no se solapen, decimos que las longitudes se han sumado para formar una sola longitud total.
Pero no podemos tomar arbitrariamente cualquier prueba como prueba de igualdad ni cualquier proceso como proceso de suma. Los resultados de las operaciones de suma y de los juicios de igualdad deben estar de acuerdo con ciertas condiciones preconcebidas. Por ejemplo, la suma de dos longitudes mayores debe dar como resultado una mayor longitud que la producida por la suma de dos longitudes menores.
Estas condiciones preconcebidas, formuladas con precisión, pueden llamarse axiomas de cantidad. La única pregunta que puede plantearse sobre su verdad o falsedad es si, cuando se satisfacen los axiomas, obtenemos necesariamente lo que la gente corriente llama cantidades. Si no es así, el nombre «axiomas de cantidad» está mal elegido, y eso es todo.
Estos axiomas de cantidad son enteramente abstractos, al igual que lo son las propiedades matemáticas del espacio. Son los mismos para todas las cantidades y no presuponen ningún modo especial de percepción.
Las ideas asociadas con la noción de cantidad son los medios por los cuales un continuo como una línea, un área o un volumen puede dividirse en partes definidas. Luego, estas partes se cuentan; de modo que los números pueden usarse para determinar las propiedades exactas de un todo continuo.
Nuestra percepción del flujo del tiempo y de la sucesión de acontecimientos es un ejemplo principal de la aplicación de estas ideas de cantidad.