XIV

aunque, por supuesto, para algunas partes del intervalo es más de lo necesario. Nótese que, debido a que $1+x+x^2+\dots +x^n+\dots$ es convergente (aunque no uniformemente) en todo el intervalo de $-1$ a $+1$, para cada valor de $x$ en el intervalo se puede encontrar un número de términos $n$ que satisfaga un estándar de aproximación deseado; pero, a medida que tomamos $x$ más y más cerca de cualquiera de los valores extremos $+1$ o $-1$, deben emplearse valores de $n$ cada vez mayores.

Resulta curioso que esta importante distinción entre convergencia uniforme y no uniforme no se publicara hasta 1847 por Stokes—posteriormente,

Sir George Stokes—y más tarde, de forma independiente en 1850 por Seidel, un alemán

matemático.

Los puntos críticos, donde entra en juego la convergencia no uniforme, no se encuentran necesariamente en los límites del intervalo a lo largo del cual se mantiene la convergencia. Esta es una particularidad propia de la serie geométrica.

En el caso de la serie geométrica $1+x+x^2+\dots +x^n+\dots$, se puede proporcionar una expresión algebraica sencilla ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$ para su límite en su intervalo de convergencia. Pero este no es siempre el caso. A menudo podemos demostrar que una serie es convergente dentro de un intervalo determinado, aunque no sepamos nada más sobre su límite excepto que es el límite de la serie.

Pero esta es una forma muy buena de definir una función; a saber, como el límite de una serie infinita convergente, y es, de hecho, la forma en que la mayoría de las funciones son, o deberían ser, definidas.

Por lo tanto, la serie más importante en la elemental

análisis es $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots +\frac{x^n}{n!}+\dots ,$ donde $n!$ tiene el significado definido anteriormente en este capítulo. Se puede demostrar que esta serie es absolutamente convergente para todos los valores de $x$ y que es uniformemente convergente dentro de cualquier intervalo que queramos tomar. Por lo tanto, posee todas las propiedades matemáticas cómodas que debería tener una serie. Se le llama serie exponencial. Denotemos su suma al infinito como $\exp x$. Así, por definición, $\exp x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots +\frac{x^n}{n!}+\dots .$ $\exp x$ se denomina función exponencial.

Es bastante fácil demostrar, con un poco de conocimiento de matemáticas elementales, que $(\exp x)\times (\exp y)=\exp (x+y).\text{quadensuremath{(A)}\}$ En otras palabras, que

$$\begin{gathered} (\exp x)\times (\exp y) \\ =1+(x+y)+\frac{(x+y{)}^2}{2!}+\frac{(x+y{)}^3}{3!}+\dots +\frac{(x+y{)}^n}{n!}+\dots . \end{gathered}$$

Esta propiedad (A) es un ejemplo de lo que se denomina teorema de adición. Cuando cualquier

cuando se define una función [digamos $f(x)$], lo primero que hacemos es tratar de expresar $f(x+y)$ en términos de funciones conocidas solo de $x$ y funciones conocidas solo de $y$. Si podemos hacerlo, el resultado se denomina teorema de adición. Los teoremas de adición desempeñan un papel importante en el análisis matemático. Así, el teorema de adición para el seno viene dado por $\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,$ y para el coseno por $\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y.$