Este tema se rozó en el capítulo VI al considerar los órdenes posibles de los enteros, de las fracciones y de los números reales. Toda la cuestión de los tipos de orden constituye una rama de las matemáticas comparativamente nueva y de gran importancia. No la consideraremos más. Todas las series infinitas que consideramos ahora son del mismo tipo de orden que los enteros dispuestos en orden ascendente de magnitud, es decir, con un primer término, y tales que cada término tiene un par de vecinos inmediatos, uno a cada lado, con la excepción del primer término que tiene, por supuesto, un solo vecino inmediato. Así, si es cualquier entero (distinto de cero), siempre habrá un término -ésimo. Una serie con un número finito de términos (digamos términos) tiene las mismas características en lo que respecta a los vecinos inmediatos que una serie infinita; solo se diferencia de la serie infinita en que tiene un último término, a saber, el -ésimo.
Lo importante que hay que hacer con una serie de números —empleando en lo sucesivo «serie» en el sentido restringido que acaba de mencionarse— es sumar sus términos sucesivos.
Así pues, si , , , , , son respectivamente el er, do, er, to, , -ésimo término de una serie de números, formamos sucesivamente las series , , , , y así sucesivamente; por lo tanto, la suma de los primeros términos puede escribirse
Si la serie tiene solo un número finito de términos, llegamos por fin de este modo a la suma de toda la serie de términos. Pero, si la serie tiene un número infinito de términos, este proceso de formar sucesivamente las sumas de los términos nunca termina; y en este sentido no existe tal cosa como la suma de una serie infinita.
¿Pero por qué es importante sumar sucesivamente los términos de una serie de este modo?
La respuesta es que aquí estamos simbolizando el proceso mental fundamental de la aproximación. Este es un proceso que tiene un significado mucho más allá de las regiones de las matemáticas. Nuestros intellectos limitados no pueden lidiar con material complicado de una sola vez, y nuestro método de disposición es el de la aproximación.
El estadista al redactar su discurso pone los temas dominantes primero y deja que los detalles caigan naturalmente en sus lugares subordinados. Existe, por supuesto, el método artístico inverso de preparar la imaginación mediante la presentación de detalles subordinados o especiales, para luego ascender gradualmente a una crisis. De cualquier manera, el proceso es uno de suma gradual de efectos; y esto es exactamente lo que se hace mediante la suma sucesiva de los términos de una serie.
Nuestro método ordinario de expresar los números es precisamente un proceso de suma gradual, al menos, en el caso de los números grandes. Así, se presenta a la mente como:—
En el caso de las fracciones decimales esto es aún más manifiesto. Así 3.14159 es:–- 3 + 1 10 + 4 100 + 1 1000 + 5 10000 + 9 100000 .