IV

Ahora todos los vectores pueden representarse gráficamente mediante líneas rectas. Todo lo que hay que hacer es establecer: (i) una escala según la cual las unidades de longitud correspondan a las unidades de magnitud del vector —por ejemplo, una pulgada a una velocidad de $10$ millas por hora en el caso de las velocidades, y una pulgada a una fuerza de $10$ toneladas de peso en el caso de las fuerzas— y (ii) una dirección de la línea en el diagrama que corresponda a la dirección del vector. Entonces, una línea trazada con el número adecuado de pulgadas de longitud en la dirección correcta representa el vector requerido en la escala de magnitud asignada arbitrariamente. Esta representación diagramática de los vectores es de suma importancia. Con su ayuda podemos enunciar la famosa "ley del paralelogramo" para la suma de vectores del mismo tipo pero en diferentes direcciones.

Considere el vector $AC$ en la [figura]6 como representativo

de la posición cambiada de un cuerpo de $A$ a $C$: a esto lo llamaremos el vector de transporte. Se observará que, si la reducción de los fenómenos físicos a meros cambios de posición, tal como se explicó anteriormente, es correcta, todos los demás tipos de vectores físicos son realmente reducibles de una forma u otra a este único tipo. Ahora bien, el transporte final de $A$ a $C$ se efectúa igualmente bien mediante un transporte de $A$ a $B$ y un transporte de $B$ a $C$, o, completando el paralelogramo $ABCD$, mediante un transporte de $A$ a $D$ y un transporte de $D$ a $C$. Se dice que estos transportes, aplicados así sucesivamente, se suman entre sí. Esto es simplemente una definición de lo que entendemos por la suma de transportes. Nótese además que, considerando las líneas paralelas como líneas trazadas en la misma dirección, los transportes de $B$ a $C$ y de $A$ a $D$ pueden concebirse como el mismo transporte aplicado a cuerpos en las dos posiciones iniciales $B$ y $A$. Con esta concepción podemos hablar del transporte de $A$ a $D$ como aplicado a un cuerpo en cualquier posición, por ejemplo en $B$. Así podemos decir que el transporte de $A$ a $C$ puede concebirse como la suma de los dos transportes de $A$ a $B$ y de $A$ a $D$ aplicados en cualquier orden. Aquí tenemos la ley del paralelogramo para la suma de transportes: a saber, si los transportes son de $A$ a $B$ y de $A$ a $D$,

complete el paralelogramo $ABCD$, y entonces la suma de los dos es la diagonal $AC$.

Todo esto, a primera vista, puede parecer muy artificial. Pero debe observarse que la naturaleza misma nos presenta la idea. Por ejemplo, un barco de vapor se mueve en la dirección $AD$ (véase la [fig.] 6) y un hombre camina a través de su cubierta. Si el barco estuviera quieto, en un minuto llegaría a $B$; pero durante ese minuto su punto de partida $A$ en la cubierta se ha movido a $D$, y su trayectoria en la cubierta se ha desplazado de $AB$ a $DC$. De modo que, de hecho, su transporte ha sido de $A$ a $C$ sobre la superficie del mar. Sin embargo, se nos presenta analizado como la suma de dos transportes, a saber, uno de $A$ a $B$ en relación con el barco, y otro de $A$ a $D$, que es el transporte del barco.

Al tomar en cuenta el elemento del tiempo, a saber, un minuto, este diagrama del transporte del hombre $AC$ representa su velocidad. Pues si $AC$ representaba tantos pies de transporte, ahora representa un transporte de tantos pies por minuto, es decir, representa la velocidad del hombre. Entonces $AB$ y $AD$ representan dos velocidades, a saber, su velocidad en relación con el vapor y la velocidad del vapor, cuya «suma» constituye su velocidad completa. Es evidente que los diagramas y las definiciones referentes a los transportes

se convierten en diagramas y definiciones referentes a velocidades al concebir los diagramas como representaciones de transportes por unidad de tiempo. A su vez, los diagramas y definiciones referentes a velocidades se convierten en diagramas y definiciones referentes a aceleraciones 7 al concebir los diagramas como representaciones de velocidades añadidas por unidad de tiempo.