XIV

De hecho, las mejores formas de definir $\sin x$ y $\cos x$ no son mediante los elaborados métodos geométricos del capítulo anterior, sino como los límites, respectivamente, de las series $x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\text{etc.}\dots ,$ y $1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\text{etc.}\dots ,$ de modo que establecemos

$$\begin{gathered} \sin x\&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\text{etc.}\dots , \\ \cos x\&=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\text{etc.}\dots . \end{gathered}$$

Estas definiciones son equivalentes a las definiciones geométricas, y puede demostrarse que ambas series son convergentes para todos los valores de $x$, y uniformemente convergentes en cualquier intervalo. Estas series para el seno y el coseno tienen un parecido general con la serie exponencial dada anteriormente. Están, de hecho, íntimamente relacionadas con ella mediante la teoría de los números imaginarios explicada en los capítulos [chapter:VII]VII. y [chapter:VIII]VIII. 29

La gráfica de la función exponencial se muestra en la [fig.]29. Corta el eje $OY$ en el punto $y=1$, como evidentemente debe hacerlo, ya que cuando $x=0$ todos los términos de la serie, excepto el primero, son cero. La importancia de la función exponencial radica en que representa cualquier cantidad física cambiante cuya tasa de aumento en cualquier instante es un porcentaje uniforme de su valor en ese instante. Para

por ejemplo, el gráfico anterior representa el tamaño en cualquier momento de una población con una tasa de natalidad uniforme, una tasa de mortalidad uniforme y sin emigración, donde la $x$ corresponde al tiempo contado a partir de cualquier día conveniente, y la $y$ representa la población a la escala adecuada. La escala debe ser tal que $OA$ represente la población en la fecha que se toma como origen. Pero aquí nos hemos topado con la idea de "tasas de incremento", que es el tema del próximo capítulo.

Una función importante estrechamente relacionada con la

La función exponencial se obtiene al colocar $-x^2$ en lugar de $x$ como argumento en la función exponencial.

Obtenemos así $\exp (-x^2)$. La gráfica $y=\exp (-x^2)$ se muestra en la [fig.]30. 30

La curva, que es algo así como un sombrero de tres picos, se denomina curva de error normal. Su

la función correspondiente es de vital importancia para la teoría de la estadística y nos indica, en muchos casos, el tipo de desviaciones de los resultados promedio que debemos esperar.

Otra función importante se obtiene combinando la función exponencial con el seno, de esta manera:–- $y=\exp (-cx)\times \sin \frac{2\pi x}{p}.$ 31

Su gráfica se muestra en la [fig.]31. Los puntos $A$, $B$, $O$, $C$, $D$, $E$, $F$ están situados a intervalos iguales de $\frac{1}{2}p$, y debería trazarse una serie interminable de ellos hacia adelante y hacia atrás. Esta función representa la extinción de las vibraciones bajo la influencia de la fricción o de fuerzas de «amortiguamiento». De no ser por la fricción, las vibraciones serían periódicas, con un periodo $p$; pero la influencia de la fricción

hace que la amplitud de cada vibración sea menor que la de la precedente en un porcentaje constante de dicha amplitud. Esta combinación de la idea de «periodicidad» (que requiere

el seno o el coseno para su simbolismo) y de «porcentaje constante» (que requiere la función exponencial para su simbolismo) es la razón de la forma de esta función, a saber, su forma como producto de una función seno por una función exponencial.