VI. Generalizations of Number

Las razones de esta índole son llamadas por los griegos inescrutables. Han suscitado desde la época de los griegos en adelante una gran cantidad de discusión filosófica, y las dificultades relacionadas con ellas solo recientemente han sido aclaradas.

Ponaremos las razones inconmensurables con las fracciones, y consideraremos al conjunto total de números enteros, números fraccionarios y números inconmensurables como formante de una clase de números a la que llamaremos "números reales".

Siempre pensamos en los números reales como dispuestos en orden de magnitud, comenzando desde cero y ascendiendo, y haciéndose indefinidamente más y más grandes a medida que avanzamos. Los números reales se representan convenientemente mediante puntos en una línea.

Sea $OX$ pg76 cualquier línea limitada en $O$ y que se extiende indefinidamente en la dirección $OX$. Tomemos cualquier punto conveniente, $A$, en ella, de modo que $OA$ represente la unidad de longitud; y dividamos longitudes $AB$, $BC$, $CD$, y así sucesivamente, cada una igual a $OA$. Entonces el punto $O$ representa el número $0$, $A$ el número $1$, $B$ el número $2$, y así sucesivamente. De hecho, el número representado por cualquier punto es la medida de su distancia desde $O$, en términos de la unidad de longitud $OA$.

Los puntos entre $O$ y $A$ representan las fracciones propias y los números inconmensurables menores que $1$; el punto medio de $OA$ representa ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, el de $AB$ representa ${\displaystyle \frac{3}{2}}$, el de $BC$ representa ${\displaystyle \frac{5}{2}}$, y así sucesivamente. De este modo, cada punto en $OX$ representa un número real, y cada número real está representado por un punto en $OX$.

La serie (o sucesión) de puntos a lo largo de $OX$, comenzando desde $O$ y avanzando regularmente en la dirección de $O$ a $X$, representa los números reales dispuestos en orden ascendente de magnitud, comenzando desde cero y aumentando continuamente a medida que avanzamos.

Todo esto parece bastante simple, pero ya en esta etapa se pueden extraer algunas ideas interesantes si nos detenemos en estos hechos evidentes.

Consideremos la serie de puntos que representan únicamente los números enteros, a saber, los puntos $O$, $A$, $B$, $C$, $D$, etc.

Aquí hay un primer punto $O$, un siguiente punto bien definido $A$, y cada punto, como $A$ o $B$, tiene un único predecesor inmediato bien definido y un único sucesor inmediato bien definido, con la excepción de $O$, que no tiene predecesor; además, la serie continúa indefinidamente sin fin.

Este tipo de orden se denomina el tipo de orden de los números enteros; su esencia es la posesión de vecinos contiguos a ambos lados, con la excepción del número 1 de la fila.

Considérense de nuevo los enteros y las fracciones en conjunto, omitiendo los puntos que corresponden a las razones inconmensurables. El tipo de ordenación en serie que obtenemos ahora es completamente diferente. Hay un primer término O ; pero ningún término tiene un antecesor inmediato o un sucesor inmediato. Esto se ve fácilmente que es así, pues entre cualesquiera dos fracciones siempre podemos encontrar otra fracción de valor intermedio.