VII

Nos espera, por tanto, la misma tarea: debemos dar una nueva interpretación a nuestros símbolos, de modo que las soluciones $\pm \sqrt{(b-a)}$ para la ecuación $x^2+a=b$ tengan siempre significado. En otras palabras, requerimos una interpretación de los símbolos tal que $\sqrt{a}$ tenga siempre significado, ya sea $a$ positivo o negativo. Por supuesto, la interpretación debe ser tal que todas las leyes formales ordinarias para la suma, la resta, la multiplicación y la división sigan siendo válidas; y, además, no debe interferir con la

generalidad a la que hemos llegado mediante el uso de los números positivos y negativos. De hecho, debe en cierto sentido incluirlos como casos especiales. Cuando $a$ es negativo podemos escribir $-c^2$ en su lugar, de modo que $c^2$ sea positivo. Entonces

$$\begin{gathered} \sqrt{a}\&=\sqrt{(-c^2)}=\sqrt{\{(-1)\times c^2\}} \\ \&=\sqrt{(-1)}\sqrt{c^2}=c\sqrt{(-1)}. \end{gathered}$$

Por tanto, si podemos interpretar nuestros símbolos de tal manera que $\sqrt{(-1)}$ tenga un significado, habremos alcanzado nuestro objetivo. Así, $\sqrt{(-1)}$ ha pasado a ser considerada como la cabeza y el frente de todas las cantidades imaginarias.

Este asunto de encontrar una interpretación para $\sqrt{(-1)}$ es una tarea mucho más difícil que la análoga de interpretar $-1$. De hecho, mientras que el problema más sencillo se resolvió casi instintivamente tan pronto como surgió, al principio apenas se le ocurrió, incluso a los más grandes matemáticos, que aquí existía un problema que quizás fuera susceptible de solución. Ecuaciones como $x^2=-3$, cuando surgían, eran simplemente descartadas por carecer de sentido.

Sin embargo, se empezó a percibir gradualmente durante el siglo XVIII, e incluso antes, lo muy conveniente que resultaría si se pudiera asignar una interpretación a estos símbolos carentes de sentido. Se realizaban razonamientos formales con estos símbolos, asumiendo simplemente que obedecían a las leyes ordinarias

leyes algebraicas de transformación; y se vio que se podía alcanzar todo un mundo de resultados interesantes, si tan solo estos símbolos pudieran utilizarse legítimamente. Muchos matemáticos no tenían entonces muy clara la lógica de su procedimiento, y se extendió la idea de que, de alguna manera misteriosa, los símbolos que no significan nada pueden, mediante una manipulación adecuada, producir pruebas válidas de proposiciones. Nada puede ser más erróneo. Un símbolo que no ha sido definido correctamente no es un símbolo en absoluto. Es simplemente una mancha de tinta sobre el papel que tiene una forma fácilmente reconocible. Nada puede probarse mediante una sucesión de manchas, excepto la existencia de una mala pluma o de un escritor descuidado. Fue durante esta época cuando el epíteto "imaginario" comenzó a aplicarse a $\sqrt{(-1)}$. Lo que estos matemáticos habían logrado probar realmente eran una serie de proposiciones hipotéticas, de las cuales esta es la forma vacía: Si existen interpretaciones para $\sqrt{(-1)}$ y para la suma, resta, multiplicación y división de $\sqrt{(-1)}$ que hacen que se satisfagan las reglas algebraicas ordinarias (por ejemplo, $x+y=y+x$, etc.), entonces se siguen tales y cuales resultados. Era natural que los matemáticos no apreciaran siempre el gran "Si", que debería haber precedido a las declaraciones de sus resultados.

Como cabe esperar, la interpretación,

cuando se descubrió, fue un asunto mucho más elaborado que el de los números negativos y se debe pedir la atención del lector para una cuidadosa explicación preliminar. Ya nos hemos encontrado con la representación de un punto mediante dos números. Con la ayuda de los números positivos y negativos