VII. Números imaginarios

Muchos matemáticos no tenían entonces muy clara la lógica de su procedimiento, y cundió la idea de que, de algún modo misterioso, unos símbolos que no significan nada pueden, mediante una manipulación adecuada, arrojar pruebas válidas de proposiciones.

Nada puede ser más erróneo. Un símbolo que no ha sido debidamente definido no es un símbolo en absoluto. Es meramente una mancha de tinta sobre el papel con una forma fácilmente reconocible. Nada puede demostrarse mediante una sucesión de manchas, excepto la existencia de una mala pluma o de un escritor descuidado.

Fue durante esta época que el epíteto "imaginario" pasó a aplicarse a $\sqrt{(- 1)}$ .

Lo que estos matemáticos habían logrado demostrar en realidad era una serie de proposiciones hipotéticas, de las cuales esta es la forma genérica:

Si existen interpretaciones para $\sqrt{(- 1)}$ y para la suma, la resta, la multiplicación y la división de $\sqrt{(- 1)}$ que hagan que se cumplan las reglas algebraicas ordinarias (por ejemplo, $x + y = y + x$ , etc.), entonces se sigue tal o cual resultado.

Era natural que los matemáticos no siempre valoraran el gran "Si" que debería haber precedido a los enunciados de sus resultados.

Como es de esperar, la interpretación, una vez hallada, resultó ser un asunto mucho más elaborado que el de los números negativos, y se debe pedir la atención del lector para realizar algunas explicaciones preliminares cuidadosas.

Ya nos hemos topado con la representación de un punto mediante dos números. Con la ayuda de los 8 números positivos y negativos, podemos ahora representar la posición de cualquier punto en un plano mediante un par de dichos números.

Así pues, tomamos el par de líneas rectas $X O X^{'}$ y $Y O Y^{'}$ , en ángulo recto, como los «ejes» a partir de los cuales iniciamos todas nuestras mediciones.

Las longitudes medidas a lo largo de $O X$ y $O Y$ son positivas, y las medidas hacia atrás a lo largo de $O X^{'}$ y $O Y^{'}$ son negativas.

Supongamos que un par de números, escritos en orden, por ejemplo $(+ 3, + 1)$ , de modo que hay un primer número ( $+ 3$ en el ejemplo anterior) y un segundo número ( $+ 1$ en el ejemplo anterior), representa mediciones desde $O$ a lo largo de $X O X^{'}$ para el primer número, y a lo largo de $Y O Y^{'}$ para el segundo número.

Así (véase la [fig.] 9) en $(+ 3, + 1)$ debe medirse una longitud de $3$ unidades a lo largo de $X O X^{'}$ en dirección positiva, es decir, de $O$ hacia $X$ , y una longitud $+ 1$ medida a lo largo de $Y O Y^{'}$ en dirección positiva, es decir, de $O$ hacia $Y$ .

De manera similar, en $(- 3, + 1)$ la longitud de $3$ unidades debe medirse desde $O$ hacia $X^{'}$ , y la de $1$ unidad desde $O$ hacia $Y$ .

Asimismo, en $(- 3, - 1)$ las dos longitudes deben medirse a lo largo de $O X^{'}$ y $O Y^{'}$ respectivamente, y en $(+ 3, - 1)$ a lo largo de $O X$ y $O Y^{'}$ respectivamente.