XIV

«suma» es muy artificial, y no debemos asumir propiedades análogas a las de la suma ordinaria de un número finito de términos sin una investigación especial.

Examinemos un ejemplo de una «suma al infinito». Consideremos el decimal periódico $\mathrm{.1111}\dots$. Este decimal no es más que una forma de simbolizar la «suma al infinito» de la serie $\mathrm{.1}$, $\mathrm{.01}$, $\mathrm{.001}$, $\mathrm{.0001}$, etc. La serie correspondiente hallada mediante la suma es $s_1=\mathrm{.1}$, $s_2=\mathrm{.11}$, $s_3=\mathrm{.111}$, $s_4=\mathrm{.1111}$, etc. El límite de los términos de esta serie es $\frac{1}{9}$; esto es fácil de ver mediante una simple división, pues $\frac{1}{9}=\mathrm{.1}+\frac{1}{90}=\mathrm{.11}+\frac{1}{900}=\mathrm{.111}+\frac{1}{9000}=\text{etc.}$ Por tanto, si se da $\frac{3}{17}$ (el $k$ de la definición), $\mathrm{.1}$ y todos los términos sucesivos difieren de $\frac{1}{9}$ en menos de $\frac{3}{17}$; si se da $\frac{1}{1000}$ (otra elección para el $k$ de la definición), $\mathrm{.111}$ y todos los términos sucesivos difieren de $\frac{1}{9}$ en menos de $\frac{1}{1000}$; y así sucesivamente, sea cual sea la elección que se haga para $k$.

Es evidente que nada de lo que se ha dicho da la más mínima idea de cómo debe hallarse la «suma al infinito» de una serie. Nos hemos limitado a enunciar las condiciones que tal número debe satisfacer. En efecto, un método general para hallar en todos los casos la suma al infinito de una serie es intrínsecamente imposible, por la sencilla razón de que tal «suma», tal como aquí se define, no siempre existe. Las series que poseen una suma al

infinito se denominan convergentes, y aquellas que no poseen una suma hasta el infinito se denominan divergentes.

Un ejemplo evidente de serie divergente es $1$, $2$, $3$, , $n$ , es decir, la serie de los números enteros en su orden de magnitud. Sea cual sea el número $l$ que se intente tomar como su suma al infinito, y sea cual sea el estándar de aproximación $k$ que se elija, tomando suficientes términos de la serie siempre se puede hacer que su suma difiera de $l$ en más de $k$. Otro ejemplo de serie divergente es $1$, $1$, $1$, etc., es decir, la serie en la que cada término es igual a $1$. Entonces, la suma de $n$ términos es $n$, y esta suma crece sin límite a medida que $n$ aumenta. Otro ejemplo más de serie divergente es $1$, $-1$, $1$, $-1$, $1$, $-1$, etc., es decir, la serie en la que los términos son alternativamente $1$ y $-1$. La suma de un número impar de términos es $1$, y la de un número par de términos es $0$. Por tanto, los términos de la serie $s_1$, $s_2$, $s_3$, , $s_n$, no se aproximan a un límite, aunque no aumentan sin límite.

Resulta tentador suponer que la condición para que $u_1$, $u_2$, ..., $u_n$ tengan una suma hasta el infinito es que $u_n$ debería decrecer indefinidamente a medida que $n$ aumenta. Las matemáticas serían una ciencia mucho más sencilla de lo que son si este fuera el caso. Por desgracia, tal suposición no es cierta.

Por ejemplo, la serie $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots ,\frac{1}{n},\dots$ es divergente. Es fácil ver que este es el caso; pues consideremos la suma de $n$ términos

comenzando en el término $(n+1)$-ésimo. Estos $n$ términos son ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}$, ${\displaystyle \frac{1}{n+2}}$, ${\displaystyle \frac{1}{n+3}}$, , ${\displaystyle \frac{1}{2n}}$: hay $n$ de ellos y ${\displaystyle \frac{1}{2n}}$ es el menor entre ellos. Por tanto, su suma es mayor que $n$ veces ${\displaystyle \frac{1}{2n}}$, es decir, es mayor que ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Ahora, sin alterar la suma al infinito, si existe, podemos sumar términos vecinos y obtener la serie $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}+\frac{1}{4},\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8},\text{etc.},$ es decir, por lo que se ha dicho anteriormente, una serie cuyos términos después del $2$º son mayores que los de la serie, $1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\text{etc.},$ donde todos los términos después del primero son iguales. Pero esta serie es divergente. Por tanto, la serie original es divergente. Cf. Nota C, notaC.204