XIII. Trigonometría

Es fácil construir una función «seno» en 28 en la que el período tenga cualquier valor asignado $a$. Pues no tenemos más que escribir $y=\sin \frac{2\pi x}{a},$ y luego $\sin \frac{2\pi (x+a)}{a}$

= \sin \left(\frac{2\pi x}{a} + 2\pi\right) = \sin \frac{2\pi x}{a}.$ Por lo tanto, el período de esta nueva función es ahora $a$. Demos ahora una definición general de lo que entendemos por función periódica. La función $f(x)$ es periódica, con período $a$, si (i) para cualquier valor de $x$ tenemos $f(x)=f(x+a)$, y (ii) no existe ningún número $b$ menor que $a$ tal que para cualquier valor de $x$, $f(x)=f(x+b)$.

La segunda cláusula se incluye en la definición porque cuando tenemos $\sin {\displaystyle \frac{2\pi x}{a}}$, no solo es periódico con el período $a$, sino también con los períodos $2a$ y $3a$, y así sucesivamente; esto surge ya que $\sin \frac{2\pi (x+3a)}{a}=\sin (\frac{2\pi x}{a}+6\pi )=\sin \frac{2\pi x}{a}.$

Así pues, es el período más pequeño el que queremos capturar y denominar el período de la función.

La mayor parte de la teoría abstracta de las funciones periódicas y la totalidad de las aplicaciones de la teoría a la ciencia física están dominadas por un teorema importante llamado Teorema de Fourier; a saber, que si $f(x)$ es una función periódica con el período $a$ y si $f(x)$ también satisface ciertas condiciones, que en la práctica siempre se presupone que cumplen las funciones sugeridas por los fenómenos naturales, entonces $f(x)$ puede escribirse como la suma de un conjunto de términos en la forma191

$$\begin{gathered} c_0+c_1\sin (\frac{2\pi x}{a}+e_1)+c_2\sin (\frac{4\pi x}{a}+e_2) \\ +c_3\sin (\frac{6\pi x}{a}+e_3)+\text{etc.} \end{gathered}$$

En esta fórmula $c_0$, $c_1$, $c_2$, $c_3$, etc., y también $e_1$, $e_2$, $e_3$, etc., son constantes, elegidas de modo que se adapten a la función en cuestión.

Nuevamente debemos preguntar: ¿Cuántos términos hay que elegir? Y aquí surge una nueva dificultad: pues podemos demostrar que, aunque en algunos casos particulares un número determinado servirá, en general todo lo que podemos hacer es aproximarnos tanto como queramos al valor de la función tomando cada vez más términos.

Este proceso de aproximación gradual nos lleva a la consideración de la teoría de las series infinitas, una parte esencial de la teoría matemática que consideraremos en el próximo capítulo.

El método anterior para expresar una función periódica como una suma de senos se denomina «análisis armónico» de la función.

Por ejemplo, en cualquier punto de la costa marina las mareas suben y bajan periódicamente. Así, en un punto cercano al estrecho de Dover habrá dos mareas diarias debido a la rotación de la tierra.

La crecida y bajada diarias de las mareas se complican por el hecho de que hay dos ondas mareales, una que sube por el canal de la Mancha y otra que ha rodeado el norte de Escocia y luego ha bajado hacia el sur por el mar del Norte.

Por otra parte, algunas mareas altas son más altas que otras: esto se debe al hecho de que el Sol también ejerce una influencia generadora de mareas, al igual que la Luna. De este modo se introducen periodos mensuales y de otro tipo.