(2) Para algún número , ;
(3) Para algún número , .
El primer punto que debe señalarse son las posibilidades contenidas en el significado de algunos, tal como se usa aquí.
Puesto que para cualquier número , es verdad para algún número . Por lo tanto, tal como se usa aquí, cualquiera implica algunos y algunos no excluye a cualquiera.
De nuevo, en el segundo ejemplo, hay de hecho un solo número tal que , a saber, únicamente el número . Por lo tanto, el algunos puede ser un solo número.
Pero en el tercer ejemplo, cualquier número que sea mayor que da . De ahí que haya un número infinito de números que responden al algún número en este caso.
Así pues, algunos puede ser cualquier cosa entre cualquiera y uno solo, incluidos ambos casos límite.
Es natural reemplazar las afirmaciones (2) y (3) por las preguntas:
(2') ¿Para qué número se cumple que ;
(3') ¿Para qué números se cumple que .
Considerando (2'), es una ecuación, y es fácil ver que su solución es .
Cuando hemos formulado la pregunta implícita en el enunciado de la ecuación , a se la denomina la incógnita. El objetivo de la resolución de la ecuación es la determinación de la incógnita.
Las ecuaciones son de gran importancia en las matemáticas, y parece como si (2') ejemplificara una idea mucho más profunda y fundamental que el enunciado original (2). Esto, sin embargo, es un completo error.
La idea de la «variable» indeterminada tal como aparece en el uso de «algún» o «cualquiera» es la verdaderamente importante en matemáticas; la de la «incógnita» en una ecuación, que debe resolverse lo más rápidamente posible, es de uso meramente subordinado, aunque por supuesto es muy importante.
Una de las causas de la aparente trivialidad de gran parte del álgebra elemental es la preocupación de los libros de texto por la resolución de ecuaciones. El mismo comentario se aplica a la resolución de la desigualdad (3') en comparación con el enunciado original (3).
Pero la mayoría de las fórmulas interesantes, especialmente cuando está presente la idea de algunas, involucran más de una variable. Por ejemplo, la consideración de los pares de números e (fraccionarios o enteros) que satisfacen involucra la idea de dos variables correlacionadas, e . Cuando hay dos variables presentes, ocurren los mismos dos tipos principales de afirmación. Por ejemplo, (1) para cualquier par de números, e , , y (2) para algunos pares de números, e , .
El segundo tipo de afirmación invita a considerar el conjunto de pares de números que están unidos por alguna relación fija; en el caso dado, por la relación x + y = 1 . Un uso de las fórmulas del primer tipo, verdaderas para cualquier par de números, es que mediante ellas las fórmulas del segundo tipo pueden