XIII. Trigonometría

De ahí que la razón entre la longitud del arco A P y la longitud del radio O P , es decir, arco A P radio O P , sea un número que es totalmente independiente de la longitud O P , y sea el mismo que la fracción arco A 1 P 1 radio O P 1 . Esta fracción de "arco dividido por radio" es la manera teórica adecuada de medir la magnitud de un ángulo; ya que no depende de ninguna unidad de longitud arbitraria, ni de ninguna forma arbitraria de dividir un ángulo asumido arbitrariamente, como un ángulo recto. Así, la fracción A P O A representa la magnitud del ángulo A O P .

Ahora tracemos $P M$ perpendicularmente a $O A$ .

Luego, los matemáticos griegos llamaron a la línea $P M$ el seno del arco $A P$ , y a la línea $O M$ el coseno del arco $A P$ . Sabían muy bien que la importancia de las relaciones de estas diversas líneas entre sí dependía de la teoría de la semejanza que acabamos de exponer.

Pero no hicieron que sus definiciones expresaran las propiedades que surgen de esta teoría. Tampoco tenían en mente las ideas generales modernas respecto a las funciones como correlación de pares de números variables, ni de hecho conocían concepción moderna alguna del álgebra y el análisis algebraico.

En consecuencia, les era natural pensar meramente en las relaciones entre ciertas líneas en un diagrama. Para nosotros el caso es diferente: deseamos incorporar nuestras ideas más potentes.

Por tanto, en las matemáticas modernas, en lugar de considerar el arco $A P$ , consideramos la fracción $\frac{A P}{O P}$ , que es un número igual para todas las longitudes de $O P$ ; y, en lugar de considerar las líneas $P M$ y $O M$ , consideramos las fracciones $\frac{P M}{O P}$ y $\frac{O M}{O P}$ , que a su vez son números que no dependen de la longitud de $O P$ , es decir, que no dependen de la escala de nuestros diagramas. Luego definimos el número $\frac{P M}{O P}$ como el seno del número $\frac{P A}{O P}$ , y el número $\frac{O M}{O P}$ como el coseno del número $\frac{P A}{O P}$ .

Estas formas fraccionarias son engorrosas de imprimir; así pues, pongamos $u$ para la fracción $\frac{A P}{O P}$ , que representa la magnitud del ángulo $A O P$ , y pongamos $v$ para la fracción $\frac{P M}{O M}$ , y $w$ para la fracción $\frac{O M}{O P}$ .

Entonces $u$ , $v$ , $w$ son números y, puesto que estamos hablando de cualquier ángulo $A O P$ , son números variables.

Pero existe una correlación entre sus magnitudes, de modo que cuando se da $u$ (es decir, el ángulo $A O P$ ), las magnitudes de $v$ y $w$ quedan definitivamente determinadas.

De ahí que $v$ y $w$ sean funciones del argumento $u$ . Hemos llamado $v$ al seno de $u$ , y $w$ al coseno de $u$ .

Deseamos adaptar la notación funcional general $y = f (x)$ a estos casos especiales: de modo que en las matemáticas modernas escribimos " $\sin$ " en lugar de " $f$ " cuando queremos indicar la función especial del "seno", y " $\cos$ " en lugar de " $f$ " cuando queremos indicar la función especial del "coseno".

Por lo tanto, con los significados anteriores para $u$ , $v$ , $w$ , obtenemos

$v = \sin u, y w = \cos u,$

donde se omiten los paréntesis que rodean a la $x$ en $f (x)$ para las funciones especiales.