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son las de las líneas curvas en las tres figuras [fig:16]16, [fig:17]17 y [fig:18]18. Los puntos $A$ y $A^{\prime }$ en las figuras se denominan

18 los vértices y la línea $A{A}^{\prime }$ el eje mayor. Se observará que una parábola (v. [fig.]17)

tiene un solo vértice. Apolonio demostróCf. Ball, loc. cit., para este relato sobre Apolonio y Pappus. que la razón de $P{M}^2$ a $AM·M{A}^{\prime }$ $\left(\mathit{\text{i.e.}}{\displaystyle \frac{P{M}^2}{AM·M{A}^{\prime }}}\right)$ permanece constante tanto para la elipse como para la hipérbola (figs. [fig:16]16 y [fig:18]18), y que la razón

de $P{M}^2$ a $AM$ es constante para la parábola de la [fig.]17; y basa la mayor parte de su trabajo en este hecho. Evidentemente, avanzamos hacia la deseada definición uniforme que no sale del plano; pero aún no hemos alcanzado del todo la uniformidad.

En los diagramas [fig:16]16 y [fig:18]18 se verán marcados dos puntos, $S$ y $S^{\prime }$, y en el [diagrama]17 un punto, $S$. Estos son los focos de las curvas y son puntos de la mayor importancia. Apolonio sabía que, para una elipse, la suma de $SP$ y $S^{\prime }P$ (es decir, $SP+S^{\prime }P$) es constante a medida que $P$ se mueve sobre la curva, y es igual a $A{A}^{\prime }$. De manera similar, para una hipérbola, la diferencia $S^{\prime }P-SP$ es constante e igual a $A{A}^{\prime }$ cuando $P$ está en una rama, y la diferencia $S{P}^{\prime }-S^{\prime }{P}^{\prime }$ es constante e igual a $A{A}^{\prime }$ cuando $P^{\prime }$ está en la otra rama. Pero no parecía existir ningún punto correspondiente para la parábola.

Finalmente, $500$ años después, el último gran geómetra griego, Pappus de Alejandría, descubrió

el secreto final que completaba esta línea de pensamiento. En los diagramas [fig:16]16 y [fig:18]18 se verán dos líneas, $XN$ y $X^{\prime }{N}^{\prime }$, y en el [diagrama]17 la línea única, $XN$. Estas son las directrices de las curvas, dos para cada una en el caso de la elipse y la hipérbola, y una para la parábola. Cada directriz corresponde a su foco más cercano.

La propiedad característica de un foco, $S$, y su directriz correspondiente, $XN$, para cualquiera de los tres tipos de curva, es que la razón

$SP$ a $PN$ $\left(\mathit{\text{es decir}}{\displaystyle \frac{SP}{PN}}\right)$ es constante, donde $PN$ es la perpendicular a la directriz desde $P$, y $P$ es cualquier punto de la curva. Aquí hemos encontrado finalmente la propiedad deseada de las curvas que no requiere que abandonemos el plano, y se enuncia de manera uniforme para las tres curvas. Para las elipses, la razónCf. Nota B, notaB.136 es menor que $1$, para las parábolas es igual a $1$, y para las hipérbolas es mayor que $1$.

Cuando Pappus hubo terminado sus investigaciones,

debió de sentir que, salvo por extensiones menores, el tema estaba prácticamente agotado; y si hubiera podido prever la historia de la ciencia durante más de mil años, esto habría confirmado su creencia. Sin embargo, en verdad, las ideas realmente fructíferas en relación con esta rama de las matemáticas ni siquiera habían sido abordadas, y nadie había adivinado sus aplicaciones sumamente importantes en la naturaleza. No puede darse advertencia más impresionante a aquellos que quisieran limitar el conocimiento y la investigación a lo aparentemente útil, que la reflexión de que las secciones cónicas fueron estudiadas durante mil ochocientos años meramente como una ciencia abstracta, sin pensar en ninguna utilidad más que la de satisfacer el ansia de conocimiento por parte de los matemáticos, y que entonces, al final de este largo período de estudio abstracto, ellas