Esta línea pasa por el «origen», O , en el diagrama y biseca el ángulo X O Y . Es la línea L ′ O L del diagrama. El hecho de que pase por el origen, O , se ve fácilmente observando que la ecuación se satisface al poner x = 0 y y = 0 simultáneamente, pero 0 y 0 son las coordenadas de O . De hecho, es fácil generalizar y ver por el mismo método que la ecuación de cualquier línea que pasa por el origen es de la forma a x + b y = 0 . El lugar geométrico de la ecuación y + x = 0 también pasa por el origen y biseca el ángulo X ′ O Y : es la línea L 1 O L 1 ′ del diagrama.
Consideremos : el lugar geométrico correspondiente no pasa por el origen. Por lo tanto, buscamos dónde corta a los ejes.
Debe cortar al eje de en algún punto de coordenadas y . Pero poniendo en la ecuación, obtenemos ; de modo que las coordenadas de este punto son y . De manera similar, el punto donde la línea corta al eje son y .
El lugar geométrico es la línea de la figura y es paralela a . Del mismo modo, es la ecuación de la línea de la figura; y el lugar geométrico es paralelo a .
Es fácil demostrar el teorema general de que dos líneas representadas por ecuaciones de las formas y son paralelas.
El siguiente grupo de loci con el que nos tropezamos es lo suficientemente importante como para merecer un capítulo por sí mismo. Pero antes de pasar a él, nos detendremos un poco más en las ideas principales del tema.
La posición de cualquier punto se determina eligiendo arbitrariamente un origen, , dos ejes,
y , en ángulo recto, y anotando luego sus coordenadas e , es decir, y (véase la [fig.] 13). Asimismo, como hemos visto en el último capítulo, puede determinarse mediante el «vector» , donde la idea del vector incluye tanto una dirección determinada como una longitud determinada.
Desde un punto de vista matemático abstracto, la idea de un origen arbitrario puede parecer artificial y torpe, y lo mismo ocurre con los ejes trazados arbitrariamente, y .
Pero en relación con la aplicación de las matemáticas al acontecimiento del Universo, estamos simbolizando aquí con sencilla franqueza el hecho más fundamental respecto a la perspectiva del mundo que nos brindan nuestros sentidos.
Cada uno de nosotros remite sus percepciones sensibles de las cosas a un origen que llamamos «aquí»: nuestra ubicación en una parte particular del espacio en torno a la cual agrupamos el Universo entero es el hecho esencial de nuestra existencia corporal.
Podemos imaginar seres que observan todos los fenómenos en todo el espacio con ojo imparcial, sin inclinarse a favor de ninguna parte. Con nosotros ocurre de otro modo, un gato a nuestros pies reclama más atención que un terremoto en el cabo de Hornos, o que la destrucción de un mundo en la Vía Láctea.