espacio y las propiedades del número; de hecho, toda la diferencia esencial entre el espacio y el número. La «espacialidad» del espacio y la «numerosidad» del número son cosas esencialmente diferentes, y deben ser directamente aprehendidas. Ninguna de las aplicaciones del álgebra a la geometría ni de la geometría al álgebra avanza ni un solo paso en el camino para borrar esta distinción vital.
Una diferencia muy marcada entre el espacio y el número es que el primero parece ser mucho menos abstracto y fundamental que el segundo.
El número de los arcángeles se puede contar precisamente porque son cosas. Una vez que sabemos que sus nombres son Rafael, Gabriel y Miguel, y que estos nombres distintos representan seres distintos, sabemos sin mayor duda que son tres.
Todas las sutilezas del mundo sobre la naturaleza de las existencias angélicas no pueden alterar este hecho, dadas las premisas.
Pero seguimos estando bastante a oscuras en cuanto a su relación con el espacio. ¿Existen en el espacio en absoluto? Tal vez sea igualmente absurdo decir que están aquí, o allí, o en cualquier parte, o en todas partes. Su existencia puede sencillamente no tener relación con localidades en el espacio. En consecuencia, si bien los números deben aplicarse a todas las cosas, no es necesario que el espacio lo haga.
La percepción de la localidad de las cosas parecería acompañar, o estar implícita en muchas, o en todas, nuestras sensaciones.
Es independiente de cualquier sensación particular en el sentido de que acompaña a muchas sensaciones. Pero es una peculiaridad especial de las cosas que aprehendemos mediante nuestras sensaciones.
La aprehensión directa de lo que entendemos por las posiciones de las cosas unas respecto de otras es algo sui generis, exactamente igual que lo son las aprehensiones de los sonidos, los colores, los sabores y los olores.
A primera vista, por lo tanto, parecería que las matemáticas, en la medida en que incluyen la geometría en su ámbito, no son abstractas en el sentido en que se les atribuye la abstracción en I.
Esto, sin embargo, es un error; la verdad es que la "espacialidad" del espacio no entra en absoluto en nuestro razonamiento geométrico.
Entra en las intuiciones geométricas de los matemáticos de maneras personales y peculiares para cada individuo. Pero lo que entra en el razonamiento son meramente ciertas propiedades de las cosas en el espacio, o de las cosas que forman el espacio, cuyas propiedades son completamente abstractas en el sentido en que lo abstracto fue definido en I.; estas propiedades no implican ninguna aprehensión espacial, intuición espacial o sensación espacial peculiar. Están exactamente sobre la misma base que las propiedades matemáticas del número.
Así, la intuición espacial, que es una ayuda tan esencial para el estudio de la geometría, es lógicamente irrelevante: no interviene en las premisas cuando estas se enuncian correctamente, ni en ningún paso del razonamiento. Posee la importancia práctica de un ejemplo, el cual es esencial para estimular nuestros pensamientos.