La ecuación x 2 + 1 = 3 se convierte en x 2 = 2 , y esta tiene dos soluciones, ya sea x = + 2 o x = − 2 . La afirmación de que existen estas soluciones alternativas se escribe habitualmente como x = ± 2 . Hasta aquí todo marcha sobre ruedas, al igual que en el caso anterior.
Pero ahora surge una dificultad análoga. Pues la ecuación da y no hay ningún número positivo o negativo que, al ser multiplicado por sí mismo, dé un cuadrado negativo. Por lo tanto, si nuestros símbolos han de significar los números ordinarios positivos o negativos, no hay solución para , y la ecuación carece de sentido de hecho.
Así, tomando finalmente la forma general , hallamos el par de soluciones , si, y solo si, no es menor que .
En consecuencia, no podemos afirmar sin restricciones que las «constantes» y puedan ser cualesquiera números; es decir, las «constantes» y no son, como deberían ser, «variables» independientes y sin restricciones; y así, de nuevo, una multitud de limitaciones y restricciones se acumularán en torno a nuestro trabajo a medida que avancemos.
Por consiguiente, nos aguarda la misma tarea que antes: debemos dar una nueva interpretación a nuestros símbolos, de modo que las soluciones para la ecuación tengan siempre significado. En otras palabras, requerimos una interpretación de los símbolos para que tenga siempre significado, ya sea positivo o negativo.
Por supuesto, la interpretación debe ser tal que se cumplan todas las leyes formales ordinarias de la suma, la resta, la multiplicación y la división; y además no debe interferir con la generalidad que hemos alcanzado mediante el uso de los números positivos y negativos. De hecho, debe en cierto modo incluirlos como casos especiales.
Cuando es negativo, podemos escribir en su lugar, de modo que sea positivo. Entonces
Por consiguiente, si podemos interpretar nuestros símbolos de tal modo que tenga un significado, habremos alcanzado nuestro objetivo.
Así, ha llegado a ser considerada como la cabeza y el frente de todas las cantidades imaginarias.
Este asunto de encontrar una interpretación para es una tarea mucho más difícil que el análogo de interpretar el . De hecho, mientras que el problema más sencillo se resolvió casi instintivamente tan pronto como surgió, al principio apenas se le ocurrió, ni siquiera a los más grandes matemáticos, que aquí existía un problema que tal vez fuera susceptible de solución. Ecuaciones como , cuando aparecían, simplemente se descartaban por considerarlas un sinsentido.
Sin embargo, se fue percibiendo gradualmente durante el siglo XVIII, e incluso antes, lo sumamente conveniente que sería que pudiera asignarse una interpretación a estos símbolos sin sentido.
Se realizaba un razonamiento formal con estos símbolos, asumiendo simplemente que obedecían las leyes ordinarias de transformación algebraica; y se vio que se podía alcanzar todo un mundo de resultados interesantes, con tal de que estos símbolos pudieran usarse legítimamente.