VII

Otra forma de representar el par ordenado $(x, y)$ es pensar que representa la línea punteada $O P$ (cf. [fig.] 8), en lugar del punto $P$ . Así, el par ordenado representa una línea trazada desde un «origen», $O$ , de una determinada

longitud y en una dirección determinada. La línea $O P$ puede denominarse línea vectorial de $O$ a $P$ , o el paso de $O$ a $P$ . Vemos, por tanto, que en este capítulo solo hemos extendido la interpretación que dimos anteriormente de los números positivos y negativos. Este método de representación mediante vectores es muy

útil cuando consideramos el significado que debe asignarse a las operaciones de suma y multiplicación de pares ordenados.

plus 0.75em minus 0.25em Pasaremos ahora a esta cuestión y preguntaremos qué significado nos resultará conveniente asignar a la suma de los dos pares ordenados $(x, y)$ y $(x^{'}, y^{'})$ . La interpretación debe: (a) hacer que el resultado de la suma sea otro par ordenado, (b) hacer que la operación sea conmutativa, de modo que $(x, y) + (x^{'}, y^{'}) = (x^{'}, y^{'}) + (x, y)$ , (c) hacer que la operación sea asociativa, de modo que ${(x, y) + (x^{'}, y^{'})} + (u, v) = (x, y) + {(x^{'}, y^{'}) + (u, v)}$ , (d) hacer que el resultado de la resta sea único, de modo que cuando busquemos determinar el par ordenado desconocido $(x, y)$ para satisfacer la ecuación $(x, y) + (a, b) = (c, d)$ , exista una y solo una respuesta que podamos representar mediante $(x, y) = (c, d) - (a, b)$ .

Todos estos requisitos se satisfacen tomando $(x, y) + (x^{'}, y^{'})$ como el par ordenado $(x + x^{'}, y + y^{'})$ . En consecuencia, por definición, establecemos $(x, y) + (x^{'}, y^{'}) = (x + x^{'}, y + y^{'}) .$ Nótese que aquí hemos adoptado la costumbre matemática de utilizar el mismo símbolo $+$ en sentidos diferentes. El $+$ del lado izquierdo de la ecuación tiene el nuevo significado de $+$ que acabamos de definir; mientras que los dos $+$ del lado derecho tienen el significado de la suma de números (operaciones) positivos y negativos que se definió en el último capítulo. No surge ninguna confusión práctica de este doble uso.

Como ejemplos de suma tenemos

El significado de la resta ha quedado establecido para nosotros. Encontramos que $(x, y) - (u, v) = (x - u, y - v) .$ Por lo tanto, $(+ 3, + 2) - (+ 1, + 1) = (+ 2, + 1),$ y $(+ 1, - 2) - (+ 2, - 4) = (- 1, + 2),$ y $(- 1, - 2) - (+ 2, + 3) = (- 3, - 5) .$

Es fácil ver que $(x, y) - (u, v) = (x, y) + (- u, - v) .$ Asimismo, $(x, y) - (x, y) = (0, 0) .$ Por tanto, $(0, 0)$ debe considerarse como el par ordenado cero. Por ejemplo, $(x, y) + (0, 0) = (x, y) .$

La representación pictórica de la suma de pares ordenados es sorprendentemente sencilla. 10

plus 0.75em minus 0.25em Sea $O P$ la representación de $(x, y)$ de modo que $O M = x$ y $P M = y$ ; sea $O Q$ la representación de $(x_{1}, y_{1})$ de modo que $O M_{1} = x_{1}$ y $Q M_{1} = y_{1}$ . Complétese el paralelogramo $O P R Q$ mediante las líneas punteadas $P R$ y $Q R$ , entonces la diagonal $O R$ es el par ordenado $(x + x_{1}, y + y_{1})$ . Pues trácese $P S$ paralelo

a $O X$ ; entonces, evidentemente, los triángulos $O Q M_{1}$ y $P R S$ son en todos sus aspectos iguales. De donde $M M^{'} = P S = x_{1}$ , y $R S = Q M_{1}$ y, por tanto,

$O M^{'} = O M + M M^{'} = x + x_{1}, R M^{'} = S M^{'} + R S = y + y_{1} .$