XIV. Series

Así, la serie más importante del análisis elemental es $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots +\frac{x^n}{n!}+\dots ,$ donde $n!$ tiene el significado definido anteriormente en este capítulo. Se puede demostrar que esta serie es absolutamente convergente para todos los valores de $x$, y que es uniformemente convergente dentro de cualquier intervalo que queramos tomar. De ahí que posea todas las propiedades matemáticas convenientes que una serie debe tener. Se le llama la serie exponencial. Denotemos su suma hasta el infinito mediante $\exp x$. Así, por definición, $\exp x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots +\frac{x^n}{n!}+\dots .$ $\exp x$ se llama la función exponencial.

Es bastante fácil demostrar, con un poco de conocimiento de matemáticas elementales, que $(\exp x)\times (\exp y)=\exp (x+y).\text{quadensuremath{(A)}\}$ En otras palabras, que

$$\begin{gathered} (\exp x)\times (\exp y) \\ =1+(x+y)+\frac{(x+y{)}^2}{2!}+\frac{(x+y{)}^3}{3!}+\dots +\frac{(x+y{)}^n}{n!}+\dots . \end{gathered}$$

Esta propiedad (A) es un ejemplo de lo que se llama un teorema de adición.

Cuando cualquier función [digamos $f(x)$] ha sido definida, lo primero que hacemos es intentar expresar $f(x+y)$ en función únicamente de funciones conocidas de $x$ y de funciones conocidas de $y$ únicamente. Si podemos hacerlo, el resultado se llama teorema de adición.

Los teoremas de adición desempeñan un gran papel en el análisis matemático. Así, el teorema de adición para el seno viene dado por $\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,$ y para el coseno por $\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y.$

De hecho, las mejores formas de definir $\sin x$ y $\cos x$ no son mediante los elaborados métodos geométricos del capítulo anterior, sino como los límites, respectivamente, de las series $x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\text{etc.}\dots ,$ y $1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\text{etc.}\dots ,$ de modo que establecemos

$\sin x &= x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \text{etc.} \dots, \ \cos x &= 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \text{etc.} \dots.$

Estas definiciones son equivalentes a las definiciones geométricas, y se puede demostrar que ambas series son convergentes para todos los valores de $x$, y convergentes uniformemente en todo el intervalo.

Estas series para el seno y el coseno guardan un parecido general con la serie exponencial dada anteriormente. Están, de hecho, íntimamente conectadas con ella mediante la teoría de los números imaginarios explicada en los capítulos [chapter:VII]VII. y [chapter:VIII]VIII.

29

La gráfica de la función exponencial se da en la [fig.] 29. Corta al eje $OY$ en el punto $y=1$, como evidentemente debe hacerlo, ya que cuando $x=0$ todos los términos de la serie, excepto el primero, son cero.

La importancia de la función exponencial radica en que representa cualquier cantidad física cambiante cuya tasa de aumento en un instante dado es un porcentaje uniforme de su valor en ese instante. Por ejemplo, la gráfica anterior representa el tamaño en cualquier momento de una población con una tasa de natalidad uniforme, una tasa de mortalidad uniforme y sin emigración, donde $x$ corresponde al tiempo contado a partir de cualquier día conveniente, e $y$ representa la población a la escala adecuada.

La escala debe ser tal que $OA$ represente la población en la fecha que se toma como origen. Pero aquí nos hemos topado con la idea de «tasas de aumento», que es el tema del próximo capítulo.