XV

Newton habría formulado la pregunta

al decir que, cuando $h$ tiende a cero, en el límite $2x+h$ se convierte en $2x$. Nuestra tarea consiste en explicar esta afirmación de tal manera que se demuestre que, en realidad, no supone encubiertamente la existencia de las cantidades infinitamente pequeñas de Leibniz. Al leer el método de exposición newtoniano, resulta tentador buscar la simplicidad mediante

decir que $2x+h$ es $2x$, cuando $h$ es cero. Pero esto no sirve; pues al hacerlo se elimina el intervalo de $x$ a $x+h$, sobre el cual se calculó el incremento promedio. El problema es cómo mantener un intervalo de longitud $h$ sobre el cual calcular el incremento promedio y, al mismo tiempo, tratar a $h$ como si fuera cero. Newton lo hizo mediante la concepción de un límite, y nosotros ahora

proceda a dar la explicación de Weierstrass sobre su verdadero significado.

En primer lugar, observe que, al analizar $2x+h$, hemos considerado a $x$ como un valor fijo y a $h$ como variable. En otras palabras, $x$ ha sido tratada como una variable «constante», o parámetro, tal como se explicó en IX; y, en realidad, hemos considerado $2x+h$ como una función del argumento $h$. Por tanto, podemos generalizar la cuestión que nos ocupa y preguntar qué queremos decir al afirmar que la función $f(h)$ tiende al límite $l$, digamos, a medida que su argumento $h$ tiende al valor cero. Pero, una vez más, veremos que el valor especial cero para el argumento no pertenece a la esencia del tema; y, de nuevo, generalizamos aún más y preguntamos qué queremos decir al afirmar que la función $f(h)$ tiende al límite $l$ a medida que $h$ tiende al valor $a$.

Ahora bien, según la explicación de Weierstrass, toda la idea de que $h$ tienda al valor $a$, aunque ofrece una especie de imagen metafórica de lo que pretendemos, en realidad no viene al caso en absoluto. De hecho, es bastante obvio

que, mientras conservemos algo parecido a "$h$ tendiendo a $a$" como idea fundamental, estamos realmente en las garras de lo infinitamente pequeño; pues implicamos la noción de que $h$ está infinitamente cerca de $a$. Esto es precisamente de lo que queremos deshacernos.

En consecuencia, volveremos a enunciar una vez más nuestra frase a explicar, y preguntaremos qué queremos decir al afirmar que el límite de la función $f(h)$ en $a$ es $l$.

El límite de $f(h)$ en $a$ es una propiedad del

entorno de $a$, donde «entorno» se utiliza en el sentido definido en el XI durante la discusión sobre la continuidad de las funciones. El valor de la función $f(h)$ en $a$ es $f(a)$; pero el límite es distinto en concepto del valor, y puede ser diferente a este, y puede existir cuando el valor no ha sido definido. Utilizaremos también el término «estándar de aproximación» en el sentido en que se define en el XI. De hecho, en la definición de «continuidad» dada hacia el final de ese capítulo hemos definido prácticamente un límite. La definición de un límite es:—

Una función $f(x)$ tiene el límite $l$ en un valor $a$ de su argumento $x$, cuando en el entorno de $a$ sus valores se aproximan a $l$ dentro de cualquier estándar de aproximación.