XV. El cálculo diferencial

Una función $f(x)$ es continua en un valor $a$ de su argumento cuando, en el entorno de $a$, sus valores se aproximan a su valor en $a$ dentro de cualquier estándar de aproximación.

Es a la vez evidente que una función es continua en $a$ cuando (i) posee un límite en $a$, y (ii) dicho límite es igual a su valor en $a$.

Así, las ilustraciones de continuidad dadas al final del capítulo XI son ilustraciones de la idea de límite; a saber, todas ellas estaban dirigidas a probar que $f(a)$ era el límite de $f(x)$ en $a$ para las funciones consideradas y el valor de $a$ considerado.

En realidad es más instructivo considerar el límite en un punto donde una función no es continua. Por ejemplo, considérese la función cuya gráfica se da en la [fig.] 20 del capítulo XI. Esta función $f(x)$ está definida de modo que tiene el valor $1$ para todos los valores del argumento excepto para los enteros $0$, $1$, $2$, $3$, etc., y para estos valores enteros tiene el valor $0$.

Ahora pensemos en su límite cuando $x=3$. Notamos que en la definición de límite se excluye el valor de la función en $a$ (en este caso, $a=3$). Pero, excluyendo $f(3)$, los valores de $f(x)$, cuando $x$ se encuentra dentro de cualquier intervalo que (i) contiene a $3$ sin ser uno de sus extremos, y (ii) no se extiende tan lejos como $2$ y $4$, son todos iguales a $1$; y por lo tanto estos valores se aproximan a $1$ dentro de cualquier estándar de aproximación. De ahí que $1$ sea el límite de $f(x)$ en el valor $3$ del argumento $x$, pero por definición $f(3)=0$.

Este es un ejemplo de una función que posee tanto un valor como un límite en el valor $3$ del argumento, pero el valor no es igual al límite.

Al final del capítulo XI se consideró la función $x^2$ en el valor $2$ del argumento. Su valor en $2$ es $2^2$, es decir, $4$, y se demostró que su límite también es $4$. Por lo tanto, aquí tenemos una función con un valor y un límite que son iguales.

Finalmente llegamos al caso que es esencialmente importante para nuestros propósitos, a saber, a una función que posee un límite, pero ningún valor definido en un determinado valor de su argumento. No necesitamos ir muy lejos para buscar tal función, ${\displaystyle \frac{2x}{x}}$ servirá a nuestro propósito.

Ahora bien, en cualquier libro de matemáticas, podríamos encontrar la ecuación ${\displaystyle \frac{2x}{x}}=2$, escrita sin vacilación ni comentario. Pero hay una dificultad en esto; porque cuando $x$ es cero, ${\displaystyle \frac{2x}{x}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$; y ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ no tiene un significado definido.

Así, el valor de la función ${\displaystyle \frac{2x}{x}}$ en $x=0$ no tiene un significado definido. Pero para cualquier otro valor de $x$, el valor de la función ${\displaystyle \frac{2x}{x}}$ es $2$. Por lo tanto, el límite de ${\displaystyle \frac{2x}{x}}$ en $x=0$ es $2$, y no tiene valor en $x=0$.

De manera similar, el límite de ${\displaystyle \frac{x^2}{x}}$ en $x=a$ es $a$ cualquiera que sea $a$, de modo que el límite de ${\displaystyle \frac{x^2}{x}}$ en $x=0$ es $0$. Pero el valor de ${\displaystyle \frac{x^2}{x}}$ en $x=0$ toma la forma ${\displaystyle \frac{0}{0}}$, la cual no tiene un significado definido. Así, la función ${\displaystyle \frac{x^2}{x}}$ tiene un límite pero ningún valor en $0$.

Volvemos ahora al problema con el que iniciamos esta discusión sobre la naturaleza de un límite. ¿Cómo vamos a definir la razón de incremento de la función x 2 para cualquier valor x de su argumento? Nuestra