VI. Generalizations of Number

Now arrange these classes in the order of magnitude of their indices.

The first class has the index $2$ , and its only member is $\frac{1}{1}$ ;
the second class has the index $3$ , and its members are $\frac{1}{2}$ and $\frac{2}{1}$ ;
the third class has the index $4$ , and its members are $\frac{1}{3}$ , $\frac{2}{2}$ , $\frac{3}{1}$ ;
the fourth class has the index $5$ , and its members are $\frac{1}{4}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{3}{2}$ , $\frac{4}{1}$ ;
and so on.

Es fácil ver que el número de miembros (incluyendo aún las fracciones que no están en su mínima expresión) pertenecientes a cualquier clase es uno menos que su índice.

Asimismo, los miembros de cualquier clase pueden ordenarse tomando como primer miembro la fracción con numerador $1$ , como segundo miembro la que tiene el numerador $2$ , y así sucesivamente, hasta $(n - 1)$ , donde $n$ es el índice.

Por lo tanto, para la clase de índice $n$ , los miembros aparecen en el orden

$\frac{1}{n - 1}, \frac{2}{n - 2}, \frac{3}{n - 3}, \dots, \frac{n - 1}{1} .$

Los miembros de las primeras cuatro clases han sido, de hecho, mencionados en este orden. Así, todo el conjunto de fracciones se ha dispuesto ahora en un orden semejante al de los enteros. Este transcurre así

$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{1}, \frac{1}{3}, [\frac{2}{2}], \frac{3}{1}, \frac{1}{4}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{4}{1}, \dots,$

$\frac{n - 1}{1}, \frac{1}{n - 1}, \frac{2}{n - 2}, \frac{3}{n - 3}, \dots, \frac{n - 1}{1}, \frac{1}{n},$

y así sucesivamente.

Ahora podemos deshacernos de todas las repeticiones de fracciones del mismo valor simplemente tachándolas cada vez que aparecen después de su primera aparición. En los pocos términos iniciales escritos arriba, $\frac{2}{2}$ , que aparece encerrada arriba entre corchetes, es la única fracción que no está en sus términos mínimos. Ya ha aparecido antes como $\frac{1}{1}$ . Por lo tanto, esta debe ser tachada. Pero a la serie todavía le quedan las mismas propiedades, a saber:

(a) hay un primer término,
(b) cada término tiene vecinos contiguos,
(c) la serie continúa sin fin.

Puede demostrarse que no es posible ordenar toda la serie de los números reales de este modo. Este curioso hecho fue descubierto por Georg Cantor, un matemático alemán que aún vive; es de la mayor importancia para la filosofía de las ideas matemáticas. De hecho, aquí estamos rozando la periferia de los grandes problemas del significado de la continuidad y del infinito.

Otra ampliación del número proviene de la introducción de la idea de lo que se ha denominado de varias maneras operación o paso, nombres que son respectivamente apropiados desde puntos de vista ligeramente diferentes.