Esta notación tiene sus defectos. Así, choca evidentemente con la convención de que las letras individuales deben representar números variables; puesto que aquí F , f , g , ϕ , etc., antepuestas a un paréntesis representan funciones variables. Sería fácil dar ejemplos en los que solo podemos fiarnos del sentido común y del contexto para ver qué se quiere decir. Una forma de eludir la confusión es utilizando letras griegas (por ejemplo, ϕ como antes) para las funciones; otra forma es mantenerse en f y F (la letra inicial de función) para la letra funcional y, si hay que simbolizar otras funciones variables, tomar una letra adyacente como g .
Con estas explicaciones y precauciones, escribimos , para denotar que es el valor de alguna función indeterminada del argumento ; donde puede representar cualquier cosa tal como , , , , o meramente en sí mismo.
El punto esencial es que cuando se da , entonces queda por ello definitivamente determinado. Es importante tener muy clara la generalidad de esta idea. Así, en , podemos determinar, si así lo elegimos, que signifique que cuando es un número entero, es cero, y cuando tiene cualquier otro valor, es .
En consecuencia, al poner , con esta elección para el significado de , es o según que el valor de sea entero o de otro tipo. Así, , , , , y así sucesivamente. Esta elección para el significado de da una función perfectamente válida del argumento según la definición general de una función.
Una función, que al fin y al cabo no es más que una especie de correlación entre dos variables, se representa como otras correlaciones mediante un gráfico, es decir, en la práctica, mediante los métodos de la geometría analítica. Por ejemplo, la [fig.] 2 en el cap. II es el gráfico de la función , donde es el argumento y el valor de la función. En este caso, el gráfico se dibuja únicamente para valores positivos de , que son los únicos valores que poseen algún significado para la aplicación física considerada en ese capítulo. Asimismo, en la [fig.] 14 del cap. IX, toda la longitud de la línea , ilimitada en ambas direcciones, es el gráfico de la función , donde es el argumento e es el valor de la función; y en la misma figura, la línea ilimitada es el gráfico de la función , y la línea es el gráfico de la función , siendo el argumento e el valor de la función.
Estas funciones, que se expresan mediante fórmulas algebraicas sencillas, son aptas para su representación mediante gráficos. Pero para algunas funciones esta representación resultaría muy engañosa sin una explicación detallada, o podría ser incluso imposible. Así pues, consideremos la función mencionada anteriormente, que tiene el valor 1 para todos los valores de su argumento x , excepto aquellos que son enteros, por ejemplo, excepto para x = 0 , x = 1 , x = 2 , etc., cuando tiene el valor 0 . Su aspecto en un gráfico sería el de la línea recta A B A ′ trazada paralela al eje X O X ′ a una distancia de él de 1 unidad de longitud. Pero los puntos B , C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , etc., correspondientes a los valores 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , etc., del argumento x , deben omitirse, y en lugar de ellos deben tomarse los puntos O , B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , etc., sobre el eje O X .