VII. Números imaginarios

Todas estas condiciones (), (), (), (), () pueden ser satisfechas por una interpretación que, aunque a primera vista parezca complicada, es susceptible de una interpretación geométrica sencilla.

Por definición, establecemos que $(x, y) \times (x^{'}, y^{'}) = {(x x^{'} - y y^{'}), (x y^{'} + x^{'} y)} . \quad\ensuremath{(A)}$

Esta es la definición del significado del símbolo $\times$ cuando se escribe entre dos pares ordenados. Se sigue evidentemente de esta definición que el resultado de la multiplicación es otro par ordenado, y que el valor del segundo miembro de la ecuación (A) no se altera si se intercambian simultáneamente $x$ con $x^{'}$ , e $y$ con $y^{'}$ .

De ahí que las condiciones () y () queden evidentemente satisfechas. La demostración de que se satisfacen (), (), () es igualmente sencilla una vez que hayamos dado la interpretación geométrica, lo cual procederemos a hacer en un momento. Pero antes de hacer esto será interesante detenernos a ver si hemos alcanzado el objetivo para el cual se inició toda esta elaboración.

Nos tropezamos con ecuaciones de la forma $x^{2} = - 3$ , a las cuales no se les podían asignar soluciones en términos de números reales positivos y negativos. Encontramos entonces que todas nuestras dificultades desaparecerían si pudiéramos interpretar la ecuación $x^{2} = - 1$ , es decir, si pudiéramos definir $\sqrt{(- 1)}$ de tal modo que $\sqrt{(- 1)} \times \sqrt{(- 1)} = - 1$ .

Now let us consider the three special ordered couplesFor the future we follow the custom of omitting the $+$ sign wherever possible, thus $(1, 0)$ stands for $(+ 1, 0)$ and $(0, 1)$ for $(0, + 1)$ . $(0, 0)$ , $(1, 0)$ , and $(0, 1)$ .

Ya hemos demostrado que $(x, y) + (0, 0) = (x, y) .$

Además, ahora tenemos $(x, y) \times (0, 0) = (0, 0) .$

Por tanto, tanto para la adición como para la multiplicación, el par $(0, 0)$ desempeña el papel de cero en la aritmética elemental y en el álgebra; compárense las ecuaciones anteriores con $x + 0 = x$ y $x \times 0 = 0$ .

Consideremos de nuevo $(1, 0)$ : esto hace el papel de $1$ en la aritmética y el álgebra elementales. En estas ciencias elementales, la característica especial de $1$ es que $x \times 1 = x$ , para todos los valores de $x$ .

Ahora, según nuestra ley de multiplicación, $(x, y) \times (1, 0) = {(x - 0), (y + 0)} = (x, y) .$

Por lo tanto, $(1, 0)$ es el par unitario.

Finalmente consideremos $(0, 1)$ : este nos interpretará el símbolo $\sqrt{(- 1)}$ . Por lo tanto, el símbolo debe poseer la propiedad característica de que $\sqrt{(- 1)} \times \sqrt{(- 1)} = - 1$ . Ahora bien, según la ley de multiplicación para pares ordenados $(0, 1) \times (0, 1) = {(0 - 1), (0 + 0)} = (- 1, 0) .$

Pero $(1, 0)$ es el par unidad, y $(- 1, 0)$ es el par unidad negativo; de modo que $(0, 1)$ tiene la propiedad deseada. Hay, sin embargo, dos raíces de $- 1$ que deben proporcionarse, a saber $\pm \sqrt{(- 1)}$ .

Consideremos $(0, - 1)$ ; recordando aquí nuevamente que $(- 1)^{2} = 1$ , hallamos, $(0, - 1) \times (0, - 1) = (- 1, 0)$ .

Por lo tanto, ( 0 , − 1 ) es la otra raíz cuadrada de − 1 . En consecuencia, los pares ordenados ( 0 , 1 ) y ( 0 , − 1 ) son las interpretaciones de ± ( − 1 ) en términos de pares ordenados.