Una forma muy sencilla de hacer esto es sumar las fracciones y dividir el resultado por la mitad. Por ejemplo, entre 2 3 y 3 4 se encuentra la fracción 1 2 ( 2 3 + 3 4 ) , es decir, 17 24 ; y entre 2 3 y 17 24 se encuentra la fracción 1 2 ( 2 3 + 17 24 ) , es decir, 33 48 ; y así indefinidamente. Debido a esta propiedad se dice que la serie es «compacta». No hay un punto final en la serie, la cual aumenta indefinidamente sin límite a medida que avanzamos por la línea O X .
Parecería a primera vista como si el tipo de serie obtenido de este modo a partir de las fracciones, incluyendo siempre a los enteros, fuera el mismo que el obtenido a partir de todos los números reales —enteros, fracciones e inconmensurables tomados en conjunto—, es decir, a partir de todos los puntos de la línea .
Todo lo que hemos dicho hasta ahora sobre la serie de fracciones se aplica igualmente bien a la serie de todos los números reales. Pero hay diferencias importantes que pasamos a desarrollar ahora.
La ausencia de los inconmensurables en la serie de fracciones deja una ausencia de extremos en ciertas clases.
Así, considérese el inconmensurable . En la serie de los números reales, este se sitúa entre todos los números cuyos cuadrados son menores que y todos los números cuyos cuadrados son mayores que . Pero si nos atenemos exclusivamente a la serie de las fracciones y no pensamos en los inconmensurables, de modo que no podamos introducir , no existe ninguna fracción que posea la propiedad de dividir la serie en dos partes de este modo, es decir, de tal manera que todos los miembros de un lado tengan sus cuadrados menores que , y los del otro lado, mayores que .
Por lo tanto, en la serie de las fracciones hay un casi vacío donde debería ubicarse . Esta presencia de casi vacíos en la serie de las fracciones puede parecer un asunto menor; pero cualquier matemático que lea esto sabe que la posible ausencia de límites o máximos para una clase de números —que, sin embargo, no se extiende a lo largo de toda la serie numérica— no es un mal menor.
Para evitar esta dificultad se recurre a los inconmensurables, a fin de obtener una serie completa y sin vacíos.
Existe otra diferencia aún más fundamental entre las dos series. Podemos reordenar las fracciones en una serie como la de los enteros, es decir, con un primer término, y de tal manera que cada término tenga un sucesor inmediato y (excepto el primer término) un predecesor inmediato. Podemos mostrar cómo se puede hacer esto.
Escríbase cada término de la serie de fracciones y enteros en forma fraccionaria escribiendo para , para , y así sucesivamente para todos los enteros, excluyendo el .
Asimismo, por el momento consideraremos distintas las fracciones que son iguales en valor pero no están reducidas a sus términos mínimos; de modo que, por ejemplo, hasta nuevo aviso, , , , , etc., se consideran todas distintas.
Ahora agrupa las fracciones en clases sumando entre sí el numerador y el denominador de cada término. Por razones de brevedad, llama a esta suma del numerador y del denominador de una fracción su índice.
Así, es el índice de , y también de , y de .
Sean las fracciones de cada clase todas aquellas que tienen un índice especificado, el cual puede llamarse por tanto también índice de la clase.