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punteadas, y las partes sobre el plano o delante de él son líneas continuas. Supongamos ahora que este cono doble es cortado por un plano no perpendicular al eje C V C ′ , o al menos no necesariamente perpendicular a él. Entonces pueden darse tres casos:–-

(1) El plano puede cortar el cono en una cerrada

curva ovalada, como $A B A^{'} B^{'}$ , que se encuentra enteramente en uno de los dos semi-conos. En este caso, el plano no cortará en absoluto al otro semi-cono. Tal curva se denomina elipse; es una curva ovalada. Un caso particular de dicha sección del cono es cuando el plano es perpendicular al eje $C V C^{'}$ , entonces la sección, como $S T U$ o $P Q R$ , es un círculo. De ahí que una

El círculo es un caso particular de la elipse.

(2) El plano puede compararse con un plano tangente que toca al cono a lo largo de una de sus líneas «generatrices», como por ejemplo el plano de la

la curva $D_{1} A_{1} D_{1}^{'}$ en el diagrama es paralela al plano tangente que toca al cono a lo largo de la generatriz $V S$ ; la curva sigue confinada a uno de los semiconos, pero ahora no es una curva ovalada cerrada, sino que se extiende indefinidamente a medida que las generatrices del semicono se prolongan alejándose del vértice. Tal sección cónica se denomina parábola.

(3) El plano puede cortar ambos semiconos,

de modo que la curva completa consta de dos porciones separadas, o «ramas» como se les llama; este caso se ilustra mediante las dos ramas $G_{2} A_{2} G_{2}^{'}$ y $L_{2} A_{2}^{'} L_{2}^{'}$ que juntas conforman la curva. Ninguna de las ramas es cerrada, cada una de ellas se extiende infinitamente a medida que los dos semi-conos se prolongan alejándose del vértice. Tal sección cónica se denomina hipérbola.

Existen, por consiguiente, tres tipos de secciones cónicas, a saber: elipses, parábolas e hipérbolas. Es fácil ver que, en cierto sentido, las parábolas son casos límite que se sitúan entre las elipses y las hipérbolas. Forman una clase más especial y han de satisfacer una condición más particular. Estos tres nombres se deben, al parecer, a Apolonio de Perge (nacido

alrededor del 260, y murió alrededor del 200), quien escribió un tratado sistemático sobre las secciones cónicas que siguió siendo la obra de referencia hasta el siglo XVI.

Debe resultar evidente de inmediato lo incómodo

y difícil debió de ser la investigación de las propiedades de estas curvas para los geómetras griegos. Las curvas son curvas planas y, sin embargo, su investigación implica el dibujo en perspectiva de una figura sólida. Así, en el diagrama presentado arriba, prácticamente no hemos trazado líneas auxiliares y, no obstante, la figura es suficientemente complicada. La

las curvas son curvas planas, y parece obvio que deberíamos ser capaces de definirlas sin 16 ir más allá del plano hacia una figura sólida. Al mismo tiempo, al igual que en la definición "sólida" 17 existe un método uniforme de definición, a saber, la sección de un cono por

un plano–lo que da lugar a tres casos, por lo que en cualquier definición de «plano» también debería haber un método de procedimiento uniforme que se divida en tres casos. Sus formas, al ser dibujadas en sus planos,