Por consiguiente, así como en álgebra nos ocupamos de números variables, de correlaciones entre números variables y de la clasificación de las correlaciones en tipos según la idea de forma algebraica; así también en geometría nos ocupamos de puntos variables, de puntos variables que satisfacen alguna condición de modo que forman un lugar geométrico, y de la clasificación de los lugares geométricos en tipos según la idea de condiciones de la misma forma.
Ahora bien, la esencia de la geometría analítica es la identificación de la correlación algebraica con el lugar geométrico.
El punto en un plano está representado en álgebra por sus dos coordenadas, e , y la condición satisfecha por cualquier punto del lugar geométrico está representada por la correlación correspondiente entre e .
Finalmente, a las correlaciones expresables en alguna forma algebraica general, tal como , les corresponden lugares geométricos de algún tipo general, cuyas condiciones geométricas son todas de la misma forma.
Hemos llegado así a una posición en la que podemos efectuar un intercambio completo de ideas y resultados entre las dos ciencias. Cada ciencia arroja luz sobre la otra y gana a su vez un poder inmensurable.
Es imposible no sentirse conmovido al pensar en las emociones de los hombres en ciertos momentos históricos de aventura y descubrimiento: Colón cuando vio por primera vez la costa occidental, Pizarro cuando contempló el Pacífico
Océano, Franklin cuando la chispa eléctrica saltó de la cuerda de su cometa, Galileo cuando dirigió por primera vez su telescopio a los cielos. Tales momentos también se les conceden a los estudiantes en las regiones abstractas del pensamiento, y muy alto entre ellos debe situarse la mañana en que Descartes yacía en la cama e inventó el método de la geometría analítica.
Una vez que se ha comprendido la idea de la geometría analítica, la pregunta inmediata que acude a la mente es: ¿Qué clase de lugares geométricos corresponden a las formas algebraicas bien conocidas?
Por ejemplo, el más simple entre los tipos generales de formas algebraicas es . La clase de lugar geométrico que corresponde a esto es una línea recta, y recíprocamente, a cada línea recta le corresponde una ecuación de esta forma.
Es afortunado que el más simple de los lugares geométricos corresponda a la más simple de las formas algebraicas. En efecto, es esta correspondencia general de simplicidad geométrica y algebraica la que confiere a todo el tema su potencia. Emana del hecho de que la conexión entre la geometría y el álgebra no es casual y artificial, sino profunda y esencial.
La ecuación que corresponde a un lugar geométrico se llama la ecuación "del" (o "al") lugar geométrico. Algunos ejemplos de ecuaciones de líneas rectas ilustrarán el tema.
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Considere y − x = 0 ; aquí la a , la b y la c de la forma general han sido reemplazadas por − 1 , 1 y 0 respectivamente.