En consecuencia, la rigurosa precisión de las matemáticas modernas es necesaria para la exactitud. En segundo lugar, es necesaria para la investigación. Contribuye a la claridad del pensamiento y, a partir de ahí, a la audacia del pensamiento y a la fecundidad al probar nuevas combinaciones de ideas. Cuando las afirmaciones iniciales son vagas y descuidos, en cada etapa posterior del pensamiento el sentido común tiene que intervenir para limitar las aplicaciones y explicar los significados. Ahora bien, en el pensamiento creativo el sentido común es un mal amo. Su único criterio de juicio es que las nuevas ideas se parezcan a las viejas. En otras palabras, solo puede actuar suprimiendo la originalidad.
Al abrirnos camino hacia la definición precisa de continuidad (tal como se aplica a las funciones), consideremos más de cerca la afirmación de que no existe ninguna relación de «gradualidad» entre los números.
Se podrá preguntar: ¿Acaso un número no puede ser solo ligeramente mayor que otro, o en otras palabras, no puede ser pequeña la diferencia entre ambos números?
El quid de la cuestión es que, en abstracto, al margen de cualquier aplicación supuesta de forma arbitraria, no existe tal cosa como un número grande o pequeño.
- Un millón de millas es un número pequeño de millas para un astrónomo que investiga las estrellas fijas, pero un millón de libras es un gran ingreso anual.
- Por otra parte, una cuarta parte es una gran fracción de los ingresos de uno para donar a la caridad, pero es una pequeña fracción de estos para conservar para uso privado.
Se pueden acumular ejemplos indefinidamente para demostrar que «grande» o «pequeño» en cualquier sentido absoluto no tienen aplicación abstracta en los números. Podemos decir de dos números que uno es mayor o menor que otro, pero no que un número cualquiera sea grande o pequeño sin especificar circunstancias particulares.
Nuestra tarea es, por lo tanto, definir continuidad sin mencionar ningún cambio «pequeño» o «gradual» en el valor de la función.
Para lograrlo, le daremos nombres a algunas ideas, lo cual también nos será útil cuando pasemos a considerar los límites y el cálculo diferencial.
Un «intervalo» de valores del argumento
de una función son todos los valores comprendidos entre dos valores cualesquiera del argumento.
Por ejemplo, el intervalo entre y consta de todos los valores que puede tomar comprendidos entre y , es decir, consta de todos los números reales entre y .
Pero los números que delimitan un intervalo no tienen por qué ser enteros.
Un intervalo de valores del argumento contiene un número cuando es un miembro del intervalo. Por ejemplo, el intervalo entre y contiene , , , etcétera.