XIV. Series

Una vez más, otro ejemplo de una serie divergente es 1 , − 1 , 1 , − 1 , 1 , − 1 , etc., es decir, la serie en la cual los términos son alternadamente 1 y − 1 . La suma de un número impar de términos es 1 , y la de un número par de términos es 0 . Por lo tanto, los términos de la serie s 1 , s 2 , s 3 , … , s n no se aproximan a un límite, aunque no crecen sin límite.

Es tentador suponer que la condición para que $u_1$, $u_2$, $\dots$, $u_n$ tengan una suma hasta el infinito es que $u_n$ disminuya indefinidamente a medida que $n$ aumenta. Las matemáticas serían una ciencia mucho más fácil de lo que son, si este fuera el caso. Desafortunadamente, la suposición no es cierta.

Por ejemplo, la serie $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots ,\frac{1}{n},\dots$ es divergente. Es fácil ver que esto es así; pues consideremos la suma de $n$ términos que empiezan en el término $(n+1)$-ésimo. Estos $n$ términos son ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}$, ${\displaystyle \frac{1}{n+2}}$, ${\displaystyle \frac{1}{n+3}}$, $\dots$, ${\displaystyle \frac{1}{2n}}$: hay $n$ de ellos y ${\displaystyle \frac{1}{2n}}$ es el menor entre ellos. De ahí que su suma sea mayor que $n$ veces ${\displaystyle \frac{1}{2n}}$, es decir, sea mayor que ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Ahora, sin alterar la suma hasta el infinito, si es que existe, podemos sumar términos vecinos y obtener la serie $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}+\frac{1}{4},\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8},\text{etc.},$ es decir, por lo dicho anteriormente, una serie cuyos términos después del $2{.}^{\text{do}}$ son mayores que los de la serie $1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\text{etc.},$ en la que todos los términos después del primero son iguales. Pero esta serie es divergente. De ahí que la serie original sea divergente.Cf. Nota C, noteC.204

Esta cuestión de la divergencia muestra cuán cuidadosos debemos ser al argumentar a partir de las propiedades de la suma de un número finito de términos hacia la de la suma de una serie infinita.

Pues la propiedad más elemental de un número finito de términos es que, por supuesto, poseen una suma; pero ni siquiera esta propiedad fundamental la posee necesariamente una serie infinita.

Esta advertencia simplemente señala que no debemos dejarnos engañar por la sugerencia del término técnico «suma de una serie infinita». Es habitual indicar la suma de la serie infinita $u_1,u_2,u_3,\dots ,u_n,\dots$ mediante $u_1+u_2+u_3+\dots +u_n+\dots .$

Pasamos ahora a una generalización de la idea de serie que las matemáticas, fiel a su método, realizan mediante el uso de la variable. Hasta ahora, solo hemos contemplado series en las que cada término definido era un número definido. Pero igualmente podemos generalizar y hacer que cada término sea alguna expresión matemática que contenga una variable $x$.

Así, podemos considerar la serie $1$, $x$, $x^2$, $x^3$, $\dots$, $x^n$, $\dots$, y la serie

$x,\frac{x^2}{2},\frac{x^3}{3},\dots ,\frac{x^n}{n},\dots .$

Para simbolizar la idea general de cualquier función de esta índole, concíbase una función de $x$, digamos $f_n(x)$, cuya formación involucra un entero variable $n$; entonces, al asignarle a $n$ los valores $1$, $2$, $3$, etc., sucesivamente, obtenemos la serie

$f_1(x),f_2(x),f_3(x),\dots ,f_n(x),\dots .$

Una serie de este tipo puede ser convergente para algunos valores de $x$ y divergente para otros. De hecho, es bastante raro encontrar una serie que involucre una variable $x$ que sea convergente para todos los valores de $x$,—al menos en cualquier caso particular es muy poco seguro suponer que este sea el caso. Por ejemplo, examinemos el más simple de todos los casos, a saber, el «geométrico»