XV

los dos últimos problemas, de la rectificación de curvas y la cuadratura de curvas como se les llama, pertenecen al Cálculo Integral, el cual

sin embargo, está relacionado con el mismo tema general que el Cálculo Diferencial.

La introducción de la geometría analítica

hace que los dos puntos de vista se fusionen. Sea (cf. [fig.] 32) $A Q P$ cualquier línea curva y sea $P T$ la tangente en el punto $P$ de la misma. Sean $O X$ y $O Y$ los ejes de coordenadas; y sea $y = f (x)$ la ecuación de la curva, de modo que $O M = x$ y $P M = y$ . Sea ahora $Q$ cualquier punto móvil sobre la curva, con coordenadas $x_{1}$ , $y_{1}$ ; entonces $y_{1} = f (x_{1})$ . Y sea $Q^{'}$ el punto sobre la tangente con la misma abscisa $x_{1}$ ; supongamos que las coordenadas de $Q^{'}$ son $x_{1}$ y $y^{'}$ . Supongamos ahora que $N$ se mueve a lo largo del eje $O X$ de izquierda a derecha con una velocidad uniforme; entonces es fácil ver que la ordenada $y^{'}$ del punto $Q^{'}$ sobre la tangente $T P$ también aumenta uniformemente a medida que $Q^{'}$ se mueve a lo largo de la tangente de manera correspondiente. De hecho, es fácil ver que la razón entre la tasa de aumento de $Q^{'} N$ y la tasa de aumento de $O N$ es la razón de $Q^{'} N$ a $T N$ , la cual es la misma en todos los puntos de la línea recta. Pero la tasa de aumento de $Q N$ , que es la tasa de aumento de $f (x_{1})$ , varía de un punto a otro de la curva siempre que esta no sea recta. A medida que $Q$ pasa por el punto $P$ , la tasa de aumento de $f (x_{1})$ (donde $x_{1}$ coincide con $x$ por el momento)

es igual a la tasa de incremento de $y^{'}$ en la tangente en $P$ . Por lo tanto, si tenemos un método general para determinar la tasa de incremento de una función $f (x)$ de una variable $x$ , podemos determinar la pendiente de la tangente en cualquier punto $(x, y)$ de una curva y, a partir de ahí, podemos trazarla. Así, los problemas de trazar tangentes a una curva y de determinar las tasas de incremento de una función son, en realidad, idénticos.

Se observará que, al igual que en los casos de las secciones cónicas y la trigonometría, el punto de vista más artificial de los dos es aquel en el que surgió la materia. El aspecto verdaderamente fundamental de la ciencia solo cobró importancia relativamente tarde. Es una generalización histórica bien fundada que lo último que se descubre en cualquier ciencia es de qué trata realmente dicha ciencia. Los hombres siguen tanteando durante siglos, guiados meramente por un instinto vago y una curiosidad perpleja, hasta que, al fin, «se desata alguna gran verdad».

Tomemos algunos casos especiales con el fin de familiarizarnos con el tipo de ideas que queremos precisar. Un tren está en movimiento; ¿cómo determinaremos su velocidad en un instante dado, digamos, al mediodía? Podemos tomar un intervalo de cinco minutos que incluya el mediodía y medir qué distancia ha recorrido el tren en ese período. Supongamos que descubrimos que son cinco

millas, podemos concluir entonces que el tren circulaba a una velocidad de $60$ millas por hora. Pero cinco millas es una gran distancia, y no podemos estar seguros de que justo al mediodía el tren se moviera a ese ritmo. Al mediodía podría haber ido a $70$ millas por hora y, después, haber aplicado el freno. Sería más seguro trabajar con un intervalo menor, digamos un minuto, que incluya el mediodía, y medir el espacio recorrido durante ese periodo. Pero para ciertos fines podría requerirse una mayor precisión, y un minuto puede ser demasiado tiempo. En la práctica, la imprecisión necesaria de nuestras mediciones hace inútil tomar un periodo demasiado pequeño para medir. Pero en teoría, cuanto menor sea el periodo, mejor, y nos vemos tentados a decir que para una precisión ideal se requiere un periodo infinitamente pequeño. Los