respuesta es que esta razón de incremento es el límite de la función ( x + h ) 2 − x 2 h en el valor cero para su argumento h . (Nótese que aquí x es una "constante".) Veamos cómo funciona esta respuesta a la luz de nuestra definición de límite. Tenemos ( x + h ) 2 − x 2 h = 2 h x + h 2 h = h ( 2 x + h ) h .
Ahora bien, al hallar el límite de en el valor del argumento , el valor (si lo hay) de la función en queda excluido. Pero para todos los valores de , excepto , podemos dividir ambos términos entre .
Por tanto, el límite de en es el mismo que el de en .
Ahora bien, cualquier que sea el estándar de aproximación que decirnos tomar, al considerar el intervalo de a vemos que, para los valores de que caen dentro de él, difiere de en menos de , es decir, en menos de . Esto es cierto para cualquier estándar .
De ahí que, en la vecindad del valor para , se aproxime a dentro de cualquier estándar de aproximación, y por consiguiente sea el límite de en .
Por tanto, según lo dicho anteriormente, es el límite de en el valor para . Se sigue, por consiguiente, que es lo que hemos llamado la razón de incremento de en el valor del argumento.
Así, este método nos conduce a la misma razón de incremento para que la forma leibniziana de hacer que crezca "infinitamente pequeño".
Los términos más abstractos «coeficiente diferencial»,
o «función derivada», se usan generalmente para lo que hasta ahora hemos llamado la «tasa de aumento» de una función.
La definición general es la siguiente: el coeficiente diferencial de la función es el límite, si existe, de la función del argumento en el valor de su argumento.
¿Cómo hemos logrado realmente, mediante esta definición y la definición subsidiaria de límite, evitar la noción de «números infinitamente pequeños» que tanto preocupaba a nuestros antepasados matemáticos?
Para ellos, la dificultad surgía porque, por un lado, tenían que utilizar un intervalo de a sobre el cual calcular el incremento medio y, por otro lado, finalmente querían hacer . El resultado era que parecían verse abocados a la noción de un intervalo existente de tamaño cero.
Ahora bien, ¿cómo evitamos esta dificultad? De este modo: utilizamos la noción de que, correspondiente a cualquier estándar de aproximación, se puede encontrar algún intervalo con tales y cuales propiedades. La diferencia radica en que nosotros hemos comprendido la importancia de la noción de «variable», y ellos no lo habían hecho.
Así, al final de nuestra exposición de las nociones esenciales del análisis matemático, somos conducidos de nuevo a las ideas con las que en el capítulo II comenzamos nuestra investigación: que en matemáticas las ideas fundamentalmente importantes son las de «algunas cosas» y «cualesquiera cosas».