1727 ) concibió la idea de la gravitación universal, a saber, que dos porciones cualesquiera de materia se atraen mutuamente con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Esta amplia ley general, unida a las tres leyes del movimiento que él configuró en su forma general definitiva, demostró ser adecuada para explicar todos los fenómenos astronómicos, incluidas las leyes de Kepler, y ha constituido la base de la física moderna.
Entre otras cosas, demostró que los cometas podían describir órbitas elípticas muy alargadas, o parábolas, o hipérbolas que son casi parábolas. Los cometas que regresan —como el cometa Halley— deben, por supuesto, moverse en elipses. Pero el paso fundamental en la demostración de la ley de la gravitación, e incluso en la sugerencia de su concepción inicial, fue la verificación de las leyes de Kepler que relacionan los movimientos de los planetas con la teoría de las secciones cónicas.
Desde el siglo XVII en adelante, la teoría abstracta de las curvas ha participado en el doble renacimiento de la geometría debido a la introducción de la geometría coordenadas y de la geometría proyectiva.
En geometría proyectiva, las ideas fundamentales giran en torno a la consideración de conjuntos (o haces, como se les llama) de líneas que pasan por un punto común (el vértice del «haz»).
Ahora bien (v. [fig.] 19), si , , , son cuatro puntos fijos cualesquiera en una sección cónica y es un punto variable sobre la curva, el haz de líneas , , y tiene una propiedad especial, conocida como la constancia de su razón doble. Bastará con decir aquí que la razón doble es una idea fundamental en geometría proyectiva.
Para la geometría proyectiva, esta es en realidad la definición de las curvas, o alguna propiedad análoga que le sea verdaderamente equivalente. Se verá cuán lejos nos hemos apartado, en el transcurso de las edades de estudio, de la antigua idea original de las secciones de un cono circular. Sabemos ahora que los griegos se habían aferrado a una propiedad menor de importancia comparativamente leve; aunque, por alguna divina fortuna, las curvas en sí mismas merecían toda la atención que se les prestaba.
Esta insignificancia de la idea de «sección» queda señalada hoy en la fraseología matemática ordinaria al omitir dicha palabra de sus nombres. Con frecuencia se les llama simplemente «cónicas» en lugar de «secciones cónicas».
Por fin, volvemos al punto en el que dejamos la geometría analítica en el capítulo anterior. Nos habíamos preguntado cuál era el tipo de lugares geométricos correspondientes a la forma algebraica general a x + b y = c , y habíamos descubierto que era la clase de las líneas rectas en el plano. Habíamos visto que toda línea recta posee una ecuación de esta forma, y que toda ecuación de esta forma corresponde a una línea recta. Ahora deseamos avanzar hacia el siguiente tipo general de formas algebraicas. Este se obtiene evidentemente introduciendo términos que contienen x 2 , x y y y 2 . Por lo tanto, la nueva forma general debe escribirse:–- a x 2 + 2 h x y + b y 2 + 2 g x + 2 f y + c = 0 . ¿Qué representa esto? La respuesta es que (cuando representa algún lugar geométrico) siempre representa una sección cónica y, además, que la ecuación de cualquier sección cónica siempre puede adoptar esta forma.