XI

Con estas explicaciones y advertencias, escribimos $y=f(x)$ para denotar que $y$ es el valor de alguna función indeterminada del argumento $x$; donde $f(x)$ puede representar cualquier cosa, como $x+1$, $x^2-2x+1$, $\sin x$, $\log x$, o simplemente $x$ por sí misma. El punto esencial es que, cuando se da $x$, entonces $y$ queda por ello definitivamente determinado. Es importante tener absoluta claridad sobre la generalidad de esta idea. Así, en $y=f(x)$, podemos determinar, si lo deseamos, que $f(x)$ signifique que cuando $x$ es un número entero, $f(x)$ es cero, y cuando $x$ tiene cualquier otro valor, $f(x)$ es $1$. En consecuencia, al establecer $y=f(x)$, con esta elección

Para el significado de $f$, $y$ es $0$ o $1$ según si el valor de $x$ es entero o no. Así, $f(1)=0$, $f(2)=0$, $f(\frac{2}{3})=1$, $f(\sqrt{2})=1$, y así sucesivamente. Esta elección para el significado de $f(x)$ da una función perfectamente válida del argumento $x$ de acuerdo con la definición general de función.

Una función, que después de todo no es más que una suerte

de la correlación entre dos variables, se representa, al igual que otras correlaciones, mediante una gráfica, es decir, en efecto, por los métodos de la geometría analítica. Por ejemplo, la [fig.] 2 en el cap. II es la gráfica de la función ${\displaystyle \frac{1}{v}}$, donde $v$ es el argumento y $p$ el valor de la función. En este caso, la gráfica solo se dibuja para valores positivos de $v$, que son los únicos valores que poseen algún significado para la aplicación física considerada en ese capítulo. Asimismo, en la [fig.] 14 del cap. IX, toda la longitud de la línea $AB$, ilimitada en ambas direcciones, es la gráfica de la función $x+1$, donde $x$ es el argumento y $y$ el valor de la función; y en la misma figura, la línea ilimitada $A_{1}B$ es la gráfica de la función $1-x$, y la línea $LO{L}^{\prime }$ es la gráfica de la función $x$, siendo $x$ el argumento y $y$ el valor de la función.

Estas funciones, que se expresan mediante fórmulas algebraicas simples, son adecuadas para su representación mediante gráficos. Pero para algunas funciones

esta representación sería muy engañosa sin una explicación detallada, o podría incluso ser imposible. Así pues, consideremos la función mencionada anteriormente, que tiene el valor $1$ para todos los valores de su argumento $x$, excepto para aquellos que son enteros, p. ej., excepto para $x=0$, $x=1$, $x=2$, etc., cuando tiene el valor $0$. Su apariencia en una gráfica sería la de la línea recta $AB{A}^{\prime }$ trazada paralela al eje $XO{X}^{\prime }$ a una distancia de $1$ unidad de longitud. Pero los puntos $B$, $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, etc., correspondientes a los valores $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, etc., del argumento $x$, deben omitirse, y en su lugar deben tomarse los puntos $O$, $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, etc., sobre el eje $OX$. Es fácil encontrar funciones para las cuales la representación gráfica no solo es inconveniente sino imposible. Las funciones que no se prestan a ser graficadas son importantes en el

matemáticas superiores, pero no necesitamos preocuparnos más por ellas aquí.

La división más importante entre funciones

es la que existe entre funciones continuas y discontinuas. Una función es continua cuando su valor solo se altera gradualmente ante alteraciones graduales del argumento, y es discontinua cuando puede alterar su valor mediante saltos repentinos. Así, las dos funciones $x+1$ y $1-x$, cuyas gráficas se representan como líneas rectas en la [fig.] 14 del IX, son funciones continuas, al igual que la función ${\displaystyle \frac{1}{v}}$, representada en el II, si solo consideramos valores positivos de $v$. Pero la función representada en la [fig.] 20 de este capítulo es discontinua, ya que en los valores $x=1$, $x=2$, etc., de su argumento, su valor presenta saltos repentinos.