sus focos, es constante para todos los puntos de la curva. Es evidente que un círculo es meramente un caso particular de una elipse cuando los dos focos se superponen en el mismo punto; pues entonces la suma de las dos distancias es simplemente el doble del radio del círculo. Los antiguos conocían las propiedades de la elipse y del círculo y, por supuesto, los consideraban como un todo. Por ejemplo, Euclides nunca comienza con meros segmentos (es decir, trozos) de círculos, que luego son prolongados. Él siempre considera el círculo completo tal como es descrito. Es lamentable que el círculo no sea la verdadera línea fundamental en geometría, de modo que su consideración defectuosa de la línea recta podría haber tenido menos consecuencias.
Esta idea general de una curva que en cualquier
punto de que exhibe alguna propiedad uniforme se expresa en geometría mediante el término «lugar geométrico». Un lugar geométrico es la curva (o superficie, si no nos limitamos a un plano) formada por puntos, todos los cuales poseen alguna propiedad dada. A toda propiedad en relación mutua que los puntos puedan tener, le corresponde algún lugar geométrico, que consiste en todos los puntos que poseen dicha propiedad. Al investigar las propiedades de un lugar geométrico considerado como un todo, consideramos cualquier punto o puntos del mismo. Así, en geometría nos encontramos de nuevo con la idea fundamental de la variable. Además, al clasificar los lugares geométricos bajo encabezados tales como líneas rectas, círculos, elipses, etc., encontramos de nuevo la idea de forma.
De la misma manera que en el álgebra nos ocupamos de números variables, de correlaciones entre números variables y de la clasificación de dichas correlaciones en tipos según la idea de forma algebraica; así en la geometría nos ocupamos de puntos variables, de puntos variables que satisfacen alguna condición de modo que forman un lugar geométrico, y de la clasificación de los lugares geométricos en tipos según la idea de condiciones de la misma forma.
Ahora bien, la esencia de la geometría analítica es la identificación de la correlación algebraica con el lugar geométrico. El punto en un plano está representado en álgebra por sus dos coordenadas, e , y la condición que satisface cualquier punto en el lugar geométrico está representada
por la correlación correspondiente entre e . Finalmente, a las correlaciones expresables en alguna forma algebraica general, tal como , les corresponden lugares geométricos de algún tipo general, cuyas condiciones geométricas son todas de la misma forma. Hemos llegado así a una posición en la que podemos efectuar un intercambio completo de ideas y resultados entre ambas ciencias. Cada ciencia arroja luz sobre la otra, y gana ella misma inconmensurablemente en potencia. Es imposible no sentirse conmovido ante el pensamiento de las emociones de los hombres en ciertos momentos históricos de aventura y descubrimiento–-Colón
cuando vio por primera vez la costa occidental, Pizarro cuando contempló el Pacífico
Océano, Franklin cuando llegó la chispa eléctrica
del hilo de su cometa, Galileo cuando él
dirigió por primera vez su telescopio hacia los cielos. Tales momentos también les son concedidos a los estudiantes en las regiones abstractas del pensamiento, y en un lugar destacado entre ellos debe situarse aquella mañana en que Descartes yacía en la cama e inventó el método