Geometría Coordinada

Los métodos y las ideas de la geometría analítica ya se han empleado en los capítulos anteriores. Ha llegado el momento de considerarlos más de cerca por sí mismos; y al hacerlo reforzaremos nuestra comprensión de otras ideas a las que hemos llegado.

En este capítulo y en los siguientes volveremos a la idea de los números reales positivos y negativos, y prescindiremos de los imaginarios que se introdujeron en los dos últimos capítulos.

Hemos estado usando perpetuamente la idea de que, tomando dos ejes, $XO{X}^{\prime }$ y $YO{Y}^{\prime }$, en un plano, cualquier punto $P$ en ese plano puede quedar determinado en su posición por un par de números positivos o negativos $x$ e $y$, donde (cf. [fig.] 13) $x$ es la longitud $OM$ e $y$ es la longitud $PM$.

Esta concepción, por simple que parezca, es la idea principal del gran tema de la geometría analítica. Su descubrimiento marca una época trascendental en la historia del pensamiento matemático. Se debe (como ya se ha dicho) al filósofo Descartes, y se le ocurrió como un método matemático importante una mañana mientras yacía en la cama.

Los filósofos, cuando han poseído un conocimiento exhaustivo de las matemáticas, han estado entre aquellos que han enriquecido la 13 ciencia con algunas de sus mejores ideas. Por otro lado, hay que decir que, sin apenas excepción, todas las observaciones sobre matemáticas hechas por aquellos filósofos que solo han poseído un conocimiento escaso, o precipitado y adquirido tardíamente, carecen por completo de valor, ya que son triviales o erróneas.

El hecho es curioso, dado que las ideas últimas de las matemáticas parecen, después de todo, muy simples, casi con una simplicidad infantil, y se encuentran plenamente dentro de los dominios del pensamiento filosófico. Probablemente su misma simplicidad sea la causa del error; no estamos acostumbrados a pensar en cosas abstractas tan simples, y se requiere un largo entrenamiento para asegurar incluso una inmunidad parcial al error tan pronto como nos apartamos de la senda trillada del pensamiento.

El descubrimiento de la geometría analítica, y también el de la geometría proyectiva por la misma época, ilustran otro hecho que se verifica continuamente en la historia del conocimiento, a saber, que algunos de los mayores descubrimientos han de hacerse entre los temas más conocidos. Para cuando llegó el siglo XVII, la geometría ya se había estado estudiando durante más de dos mil años, incluso si fechamos su surgimiento con los griegos. Euclides, que enseñó en la Universidad de Alejandría, nació alrededor del año 330; y él no hizo sino sistematizar y ampliar la obra de una larga serie de predecesores, algunos de ellos hombres de genio. Tras él, generación tras generación de matemáticos laboraron en la mejora de la materia. Ni tampoco sufrió la materia de ese obstáculo fatal para el progreso, a saber, que su estudio estuviera confinado a un grupo