que representan algunas de las leyes fundamentales del álgebra:–- Cf. Note A, noteA.60 x + y = y + x, \tag{\quad\ensuremath{(1)}} \ (x + y) + z = x + (y + z), \tag \ x × y = y × x, \tag}{\quad\ensuremath{(3)}} \ (x × y) × z = x × (y × z), \tag}} \ x × (y + z) = (x × y) + (x × z). \tag*{\quad\ensuremath{(5)}
Aquí (1) y (2) se llaman leyes conmutativa y asociativa de la suma, (3) y (4)
son las leyes conmutativa y asociativa de la multiplicación, y (5) es la ley distributiva que relaciona la suma y la multiplicación.
Por ejemplo, sin símbolos, (1) se convierte en:
Si se suma un segundo número a cualquier número dado, el resultado es el mismo que si el primer número dado se hubiera sumado al segundo número.
Este ejemplo muestra que, con la ayuda del simbolismo, podemos realizar transiciones en el razonamiento casi mecánicamente a través de la vista, las cuales de otro modo requerirían el uso de las facultades superiores del cerebro.
Es una perogrullada profundamente errónea, repetida en todos los cuadernos escolares y por gente eminente cuando pronuncia discursos, la de que debemos cultivar el hábito de pensar en lo que estamos haciendo.
Exactamente lo contrario es lo caso. La civilización avanza al extender el número de operaciones importantes que podemos realizar sin pensar en ellas.
Las operaciones del pensamiento son como las cargas de caballería en una batalla: están estrictamente limitadas en número, requieren caballos frescos y solo deben realizarse en momentos decisivos.
Una propiedad muy importante que debe poseer el simbolismo es la de ser conciso, de modo que pueda verse de un solo golpe de vista y escribirse rápidamente.
Ahora bien, no podemos colocar los símbolos de manera más concisa que situándolos en inmediata yuxtaposición. Por lo tanto, en un buen simbolismo, la yuxtaposición de símbolos importantes debe tener un significado importante.
Esta es una de las virtudes de la notación arábiga para los números; mediante diez símbolos, , , , , , , , , , , y mediante una simple yuxtaposición, simboliza cualquier número sin excepción.
Asimismo, en álgebra, cuando tenemos dos números variables e , debemos tomar una decisión sobre qué denotará su yuxtaposición . Ahora bien, las dos ideas más importantes disponibles son las de adición y multiplicación. Los matemáticos han optado por hacer su simbolismo más conciso al definir que representa a .
Así, las leyes (3), (4) y (5) anteriores se escriben por lo general de este modo:
logrando así una gran ganancia en concisión.
La misma regla de simbolismo se aplica a la yuxtaposición de un número determinado y una variable: escribimos en lugar de , y en lugar de .