II. Variables

Si la relación puede representarse mediante una ecuación como x + y = 1 , o y 2 = x , entonces los puntos yacen sobre una línea, la cual es recta en el primer caso y curva en el segundo. Por ejemplo, considerando únicamente números positivos, los puntos cuyas coordenadas satisfacen x + y = 1 yacen sobre la línea recta A B en 1, donde 0 A = 1 y O B = 1 . Así, este segmento de la línea recta A B proporciona una representación gráfica de las propiedades de la relación bajo la restricción a números positivos.

Otro ejemplo de relación entre dos variables se presenta al considerar las variaciones en la presión y el volumen de una masa dada de alguna sustancia gaseosa —como el aire, el gas de alumbrado o el vapor— a temperatura constante.

Sea $v$ el número de pies cúbicos de su volumen y $p$ su presión en libras de peso por pulgada cuadrada. Entonces la ley, conocida como ley de Boyle, que expresa la relación entre $p$ y $v$ a medida que ambas varían, es que el producto $p v$ es constante, suponiendo siempre que la temperatura no se altera.

Supongamos, por ejemplo, que la cantidad del gas y sus demás circunstancias son tales que podemos escribir $p v = 1$ (el número exacto en el lado derecho de la ecuación no introduce ninguna diferencia esencial). 2

Luego en 2 tomamos dos líneas, $O V$ y $O P$ , en ángulo recto y trazamos $O M$ a lo largo de $O V$ para representar $v$ unidades de volumen, y $O N$ a lo largo de $O P$

para representar $p$ unidades de presión. Entonces el punto $Q$ , que se halla completando el paralelogramo $O M Q N$ , representa el estado del gas cuando su volumen es de $v$ pies cúbicos y su presión es de $p$ libras de peso por pulgada cuadrada.

Si las circunstancias de la porción de gas considerada son tales que $p v = 1$ , entonces todos estos puntos $Q$ que corresponden a cualquier estado posible de esta porción de gas deben yacer sobre la línea curva $A B C$ , la cual incluye todos los puntos para los cuales $p$ y $v$ son positivos, y $p v = 1$ . Así, esta línea curva ofrece una representación gráfica de la relación que se cumple entre el volumen y la presión.

Cuando la presión es muy grande, el punto $Q$ correspondiente debe estar cerca de $C$ , o incluso más allá de $C$ en la parte no dibujada de la curva; entonces el volumen será muy pequeño. Cuando el volumen es grande, $Q$ estará cerca de $A$ , o más allá de $A$ ; y entonces la presión será pequeña.

Nótese que un ingeniero o un físico puede querer conocer la presión particular correspondiente a un volumen asignado de manera precisa. Tenemos entonces el caso de determinar la incógnita $p$ cuando

$v$ es un número conocido. Pero esto es solo en casos particulares. Al considerar en general las propiedades del gas y cómo se comportará, él tiene que tener en su mente la forma general de toda la curva $A B C$ y sus propiedades generales.

En otras palabras, la idea verdaderamente fundamental es la del par de variables que satisfacen la relación $p v = 1$ . Este ejemplo ilustra cómo la idea de variables es fundamental, tanto en las aplicaciones como en la teoría de las matemáticas.