Este gráfico pone de manifiesto, lo que también es evidente en la [fig.]20 de este capítulo, que para muchas funciones las discontinuidades solo ocurren en puntos aislados, de modo que, al restringir los valores del argumento, obtenemos una función continua para estos valores restantes.
Así pues, de la [fig.]21 se desprende claramente que en , si nos atenemos únicamente a los valores positivos y excluimos el origen, obtenemos una función continua. De igual modo, la misma función, si nos atenemos únicamente a los valores negativos, excluyendo el origen, es continua.
Asimismo, la función que se representa en la [fig.]20 es continua entre y , y entre y , y entre y , y así sucesivamente, excluyendo siempre en cada caso los puntos extremos.
Sin embargo, es fácil encontrar funciones cuyas discontinuidades ocurren en todos los puntos.
Por ejemplo, consideremos una función tal que cuando es cualquier número fraccionario , y cuando es cualquier número incomensurable . Esta función es discontinua en todos los puntos.
Finalmente, examinaremos un poco más de cerca la definición de continuidad dada anteriormente.
Hemos dicho que una función es continua cuando su valor solo se altera de manera gradual ante alteraciones graduales del argumento, y que es discontinua cuando puede alterar su valor mediante saltos repentinos. Este es exactamente el tipo de definición que satisfacía a nuestros antepasados matemáticos y que ya no satisface a los matemáticos modernos.
Vale la pena dedicarle algo de tiempo; pues cuando comprendamos las objeciones modernas a ella, habremos avanzado un gran trecho hacia la comprensión del espíritu de las matemáticas modernas.
Toda la diferencia entre las matemáticas más antiguas y las más nuevas radica en el hecho de que los términos vagos y semimetafóricos como «gradualmente» ya no se toleran en sus afirmaciones exactas. Las matemáticas modernas solo admiten afirmaciones, definiciones y argumentos que emplean exclusivamente las pocas ideas simples sobre el número, la magnitud y las variables en las que se funda la ciencia.
- De dos números, uno puede ser mayor o menor que el otro;
- y uno puede ser tal o cual múltiplo del otro;
pero no existe relación de «gradualidad» entre dos números, y por tanto el término es inadmisible. Ahora bien, esto puede parecer a primera vista una gran pedantería. A esta acusación hay dos respuestas.
En primer lugar, durante la primera mitad del siglo xix algunos grandes matemáticos, especialmente Abel en
Suecia, y Weierstrass en Alemania, de que gran parte de las matemáticas tal como se enunciaban a la antigua usanza despreocupada eran simplemente erróneas.
Macaulay, en su ensayo sobre Bacon, contrasta la certeza de las matemáticas con la incertidumbre de la filosofía; y a modo de ejemplo retórico dice: "No ha habido ninguna reacción contra el teorema de Taylor".
No podría haber elegido un peor ejemplo. Pues, sin haber hecho un examen de los libros de texto ingleses de matemáticas contemporáneos a la publicación de este ensayo, la suposición es bastante segura de que el teorema de Taylor fue enunciado y demostrado erróneamente en cada uno de ellos.