XIV. Series

Series

Ninguna parte de las Matemáticas sufre más por la trivialidad de su presentación inicial a los principiantes que el gran tema de las series.

Se consideran dos ejemplos menores de series, a saber, las series aritméticas y geométricas; estos ejemplos son importantes porque son los casos más sencillos de una teoría general importante. Pero las ideas generales nunca se revelan; y así los ejemplos, que no ejemplifican nada, quedan reducidos a tonterías triviales.

La idea matemática general de una serie es la de un conjunto de cosas dispuestas en orden, es decir, en secuencia; este significado está representado con precisión en el uso común del término.

Considérese, por ejemplo, la serie de los primeros ministros británicos durante el siglo XIX, ordenados según el período en que asumieron por primera vez ese cargo dentro de dicho siglo. La serie comienza con William Pitt y termina con

Lord Rosebery, que, con bastante propiedad, es el biógrafo del primer miembro. Podríamos haber considerado otros órdenes seriados para la disposición de estos hombres; por ejemplo, según su altura o su peso. Estos otros órdenes sugeridos nos parecen triviales en relación con los primeros ministros, y no se le ocurrirían a uno de forma natural; pero, en abstracto, son órdenes tan buenos como cualquier otro. Cuando un orden entre términos es mucho más importante u obvio que los demás órdenes, a menudo se le denomina el orden de dichos términos. Así, el orden de los números enteros siempre se entendería como su orden dispuesto según su magnitud. Pero, por supuesto, existe un número indefinido de otras formas de disponerlos. Cuando el número de cosas consideradas es finito, el número de formas de disponerlas en orden se denomina el número de sus permutaciones. El número de permutaciones de un conjunto de $n$ cosas, donde $n$ es algún número entero finito, es $n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times \dots \times 4\times 3\times 2\times 1,$ es decir, es el producto de los primeros $n$ enteros; este producto es tan importante en matemáticas que se utiliza una simbología especial para él, y siempre se escribe `$𝑛!$'. Así, $2!=2\times 1=2$, y $3!=3\times 2\times 1=6$, y $4!=4\times 3\times 2\times 1=24$, y $5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$. A medida que $n$ aumenta, el valor de $n!$ crece con mucha rapidez; así, $100!$ es cien veces mayor que $99!$.

Es fácil comprobar en el caso de valores pequeños de $n$ que $n!$ es el número de maneras de ordenar $n$ cosas. Así, consideremos dos cosas $a$ y $b$; estas son capaces de los dos órdenes $ab$ y $ba$, y $2!=2$.

Nuevamente, tómense tres cosas $a$, $b$ y $c$; estas son capaces de los seis órdenes, $abc$, $acb$, $bac$, $bca$, $cab$, $cba$, y $3!=6$.

De manera similar para los veinticuatro órdenes en los cuales cuatro cosas $a$, $b$, $c$ y $d$ pueden ser dispuestas.

Cuando llegamos a los conjuntos infinitos de cosas —como los conjuntos de todos los enteros, o de todas las fracciones, o de todos los números reales, por ejemplo—, tropezamos de inmediato con las complicaciones de la teoría de los tipos de orden.