XIII. Trigonometría

El significado de estas funciones $\sin$ y $\cos$ al correlacionar los pares de números $u$ y $v$, y $u$ y $w$ es que las relaciones funcionales deben encontrarse construyendo (v. [fig.] 26) un ángulo $AOP$, cuya medida «$AP$ dividido por $OP$» sea igual a $u$, y que entonces $v$ sea el número dado por «$PM$ dividido por $OP$» y $w$ sea el número dado por «$OM$ dividido por $OP$».

Es evidente que sin algunas definiciones adicionales tendremos dificultades cuando el número $u$ se tome demasiado grande. Pues entonces el arco $AP$ puede ser mayor que un cuarto de la circunferencia del círculo, y el punto $M$ (véase las figs. [fig:26]26 y [fig:27]27) puede caer entre $O$ y $A^{\prime }$ y no entre $O$ y $A$. Asimismo, $P$ puede estar por debajo de la línea $AO{A}^{\prime }$ y no por encima de ella como en la [fig.]26.

Para superar esta dificultad recurrimos a las ideas y convenciones de la geometría analítica al formular nuestras definiciones completas del seno y del coseno. Sea uno de los lados $OA$ del ángulo el eje $OX$, y prodúzcase el eje hacia atrás para obtener su parte negativa $O{X}^{\prime }$. Trazase el otro eje $YO{Y}^{\prime }$ perpendicular a él. Sea un punto cualquiera $P$ a una distancia $r$ de $O$ con coordenadas $x$ e $y$. Estas coordenadas son ambas positivas en el primer «cuadrante» del plano, p. ej. las coordenadas $x$ e $y$ de $P$ 27 en la [fig.] 27. En los demás cuadrantes, una o ambas coordenadas son negativas, por ejemplo, $x^{\prime }$ e $y$ para $P^{\prime }$, y $x^{\prime }$ e $y^{\prime }$ para $P^{″}$, y $x$ e $y^{\prime }$ para $P^{‴}$ en la [fig.] 27, donde $x^{\prime }$ e $y^{\prime }$ son ambos números negativos.

El ángulo positivo $POA$ es el arco $AP$ dividido por $r$, su seno es ${\displaystyle \frac{y}{r}}$ y su coseno es ${\displaystyle \frac{x}{r}}$; el ángulo positivo $AO{P}^{\prime }$ es el arco $AB{P}^{\prime }$ dividido por $r$, su seno es ${\displaystyle \frac{y}{r}}$ y su coseno ${\displaystyle \frac{x^{\prime }}{r}}$; el ángulo positivo $AO{P}^{″}$ es el arco $AB{A}^{\prime }{P}^{″}$ dividido por $r$, su seno es ${\displaystyle \frac{y^{\prime }}{r}}$ y su coseno es ${\displaystyle \frac{x^{\prime }}{r}}$; el ángulo positivo $AO{P}^{‴}$ es el arco $AB{A}^{\prime }{B}^{\prime }{P}^{‴}$ dividido por $r$, su seno es ${\displaystyle \frac{y^{\prime }}{r}}$ y su coseno es ${\displaystyle \frac{x}{r}}$.

Pero aun así no hemos ido lo bastante lejos. Pues supongamos que elegimos $u$ como un número mayor que la razón entre la circunferencia entera del círculo y su radio.

Debido a la semejanza de todos los círculos, esta razón es la misma para todos ellos. En matemáticas se denota siempre con el símbolo $2\pi$, donde $\pi$ es la forma griega de la letra p y su nombre en el alfabeto griego es «pi».

Se puede demostrar que $\pi$ es un número incomensurable y que, por tanto, su valor no puede expresarse mediante ninguna fracción, ni mediante ningún decimal exacto o periódico. Su valor con unas pocas cifras decimales es $3,14159$; para muchos propósitos, un valor aproximado suficientemente preciso es ${\displaystyle \frac{22}{7}}$.

Los matemáticos pueden calcular fácilmente $\pi$ con cualquier grado de precisión requerido, del mismo modo que se puede calcular $\sqrt{2}$. Su valor se ha llegado a dar efectivamente hasta $707$ cifras decimales. Tal elaboración del cálculo es meramente una curiosidad y carece de interés práctico o teórico.

La determinación precisa de $\pi$ es una de las dos partes del famoso problema de la cuadratura del círculo.

La otra parte del problema consiste en describir, mediante los métodos teóricos de la geometría pura, una línea recta de longitud igual a la circunferencia.

Hoy se sabe que ambas partes del problema son imposibles; y el problema insoluble ha perdido ya todo interés práctico o teórico especial, al haberse absorbido en ideas más amplias.