XIV

nueva y de gran importancia. No la consideraremos más. Todas las series infinitas que consideramos ahora son del mismo tipo de orden que los números enteros dispuestos en orden ascendente de magnitud, es decir, con un primer término, y tales que cada término tiene un par de vecinos inmediatos, uno a cada lado, con la excepción del primer término que tiene, por supuesto, solo un vecino inmediato. Así, si $m$ es cualquier número entero (distinto de cero), siempre habrá un término $m$ -ésimo. Una serie con un finito

número de términos (digamos $n$ términos) tiene las mismas características en lo que respecta a los vecinos inmediatos que una serie infinita; solo se diferencia de las series infinitas en que tiene un último término, a saber, el $n$ -ésimo.

Lo importante que hay que hacer con una serie de números —usando en adelante «serie» en el sentido restringido que se acaba de mencionar— es sumar sus términos sucesivos.

Así, si $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ , , $u_{n}$ , son respectivamente el 1.º, 2.º, 3.º, 4.º, , n-ésimo términos de una serie de números, formamos sucesivamente la serie $u_{1}$ , $u_{1} + u_{2}$ , $u_{1} + u_{2} + u_{3}$ , $u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4}$ , y así sucesivamente; por lo tanto, la suma de los $n$ primeros términos puede escribirse $u_{1} + u_{2} + u_{3} + \dots + u_{n} .$

Si la serie tiene solo un número finito de

términos, llegamos finalmente de esta manera a la suma de toda la serie de términos. Pero, si la serie tiene un número infinito de términos, este proceso de formar sucesivamente las sumas de los términos nunca termina; y en este sentido no existe tal cosa como la suma de una serie infinita.

¿Pero por qué es importante sumar sucesivamente los términos de una serie de este modo? La respuesta es que aquí estamos simbolizando el proceso mental fundamental de la aproximación. Este es un proceso que tiene una importancia mucho más

más allá de las regiones de las matemáticas. Nuestros intelectos limitados no pueden lidiar con material complicado todo a la vez, y nuestro método de ordenación es el de la aproximación. El estadista, al elaborar su discurso, coloca primero las cuestiones dominantes y deja que los detalles caigan naturalmente en sus lugares subordinados. Existe, por supuesto, el método artístico inverso de preparar la imaginación mediante la presentación de detalles subordinados o especiales, para luego ascender gradualmente a una crisis. De cualquier manera, el proceso es uno de suma gradual de efectos; y esto es exactamente lo que se hace mediante la suma sucesiva de los términos de una serie. Nuestro método ordinario de expresar números es tal proceso de suma gradual, al menos en el caso de números grandes. Así, $568, 213$ se presenta a la mente como:–- $500, 000 + 60, 000 + 8, 000 + 200 + 10 + 3 .$

En el caso de las fracciones decimales, esto es aún más evidente. Así, $3.14159$ es:–- $3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{100} + \frac{1}{1000} + \frac{5}{10000} + \frac{9}{100000} .$ Asimismo, $3$ y $3 + \frac{1}{10}$ , y $3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{100}$ , y $3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{100} + \frac{1}{1000}$ , y $3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{100} + \frac{1}{1000} + \frac{5}{10000}$ son aproximaciones sucesivas al resultado completo $3.14159$ . Si leemos $568, 213$ al revés, de derecha a izquierda, empezando por las $3$ unidades,

lo leemos de manera artística, preparando gradualmente la mente para la crisis de $500.000$ .

El proceso ordinario de la multiplicación numérica se lleva a cabo mediante la suma de una serie. Considérese el cálculo $* 6 @ c @ & & & 3 & 4 & 2 & & & 6 & 5 & 8 \cline 4 - 6 \Strut & & 2 & 7 & 3 & 6 & 1 & 7 & 1 & 0 & 2 & 0 & 5 & 2 & & \cline 1 - 6 \Strut 2 & 2 & 5 & 0 & 3 & 6$