VI

Generalizaciones del número

Una gran peculiaridad de las matemáticas es la

conjunto de ideas afines que han sido inventadas en relación con los números enteros a partir de los cuales comenzamos. Estas ideas pueden llamarse extensiones o generalizaciones del número. En primer lugar, está la idea de las fracciones. El tratado de aritmética más antiguo que poseemos fue escrito por un sacerdote egipcio, llamado Ahmes, entre 1700 y 1100,

y probablemente sea una copia de una obra mucho más antigua. Trata en gran medida sobre las propiedades de las fracciones. Parece, por tanto, que este concepto se desarrolló muy pronto en la historia de las matemáticas. De hecho, el tema es muy evidente. Dividir un campo en tres partes iguales y tomar dos de esas partes debe ser un tipo de operación que se presentó a menudo. En consecuencia, no debe sorprendernos que los hombres de civilizaciones remotas estuvieran familiarizados con la idea de dos tercios, y

con nociones afines. Así, como primera generalización del número, situamos el concepto de fracciones. Los griegos pensaban en este tema más bien bajo la forma de razón, de modo que un griego diría naturalmente que una línea de dos pies de longitud guarda con una línea de tres pies de longitud la razón de $2$ a $3$. Bajo la influencia de nuestra notación algebraica, diríamos más a menudo que una línea es dos tercios de la longitud de la otra, y pensaríamos en dos tercios como un multiplicador numérico.

En relación con la teoría de la razón, o

fracciones, los griegos hicieron un gran descubrimiento, que ha sido motivo de una gran cantidad de pensamiento tanto filosófico como matemático. Descubrieron la existencia de razones «inconmensurables». Demostraron, de hecho, en el curso de sus investigaciones geométricas que, partiendo de una línea de cualquier longitud, deben existir otras líneas cuyas longitudes no guardan con la longitud original la razón de ningún par de números enteros; o, en otras palabras, que existen longitudes que no son ninguna fracción exacta de la longitud original.

Por ejemplo, la diagonal de un cuadrado no puede expresarse como ninguna fracción del lado del mismo cuadrado; en nuestra notación moderna, la longitud de la diagonal es $\sqrt{2}$ veces la longitud del lado. Pero no existe ninguna fracción que represente exactamente $\sqrt{2}$. Podemos aproximar

a $\sqrt{2}$ tanto como queramos, pero nunca alcanzamos exactamente su valor. Por ejemplo, ${\displaystyle \frac{49}{25}}$ es apenas menor que $2$, y ${\displaystyle \frac{9}{4}}$ es mayor que $2$, de modo que $\sqrt{2}$ se encuentra entre ${\displaystyle \frac{7}{5}}$ y ${\displaystyle \frac{3}{2}}$. Pero la mejor forma sistemática de aproximarse a $\sqrt{2}$ obteniendo una serie de fracciones decimales, cada una mayor que la anterior, es mediante el método ordinario de extracción de la raíz cuadrada; así, la serie es $1$, ${\displaystyle \frac{14}{10}}$, ${\displaystyle \frac{141}{100}}$, ${\displaystyle \frac{1414}{1000}}$, y así sucesivamente.

Las razones de este tipo son llamadas por los griegos inconmensurables. Han suscitado desde la época de los griegos en adelante una gran cantidad de discusión filosófica, y las dificultades relacionadas con ellas solo han sido aclaradas recientemente.