V. The Symbolism of Mathematics

Así, x + y − 1 = 0 representa una correlación definida y 3 x + 2 y − 5 = 0 representa otra correlación definida entre las variables x e y ; y ambas correlaciones tienen la forma de lo que hemos llamado correlaciones lineales. Pero ahora, ¿cómo podemos representar cualquier correlación lineal entre los números variables x e y ? Aquí queremos simbolizar cualquier correlación lineal; así como x simboliza cualquier número.

Esto se logra convirtiendo en letras los números que aparecen en la correlación definida $3x+2y-5=0$. Obtenemos $ax+by-c=0$.

Aquí $a$, $b$, $c$ representan números variables al igual que $x$ e $y$; pero hay una diferencia en el uso de los dos conjuntos de variables. Estudiamos las propiedades generales de la relación entre $x$ e $y$ mientras $a$, $b$ y $c$ conservan valores inalterados.

No determinamos cuáles son los valores de $a$, $b$ y $c$; pero cualesquiera que sean, permanecen fijos mientras estudiamos la relación entre las variables $x$ e $y$ para todo el grupo de valores posibles de $x$ e $y$.

Pero cuando hemos obtenido las propiedades de esta correlación, notamos que, dado que $a$, $b$ y $c$ de hecho no han sido determinados, hemos demostrado propiedades que deben pertenecer a cualquier relación de este tipo.

Así, al variar ahora $a$, $b$ y $c$, llegamos a la idea de que $ax+by-c=0$ representa una correlación lineal variable entre $x$ e $y$. En comparación con $x$ e $y$, las tres variables $a$, $b$ y $c$ se denominan constantes. Las variables utilizadas de este modo a veces también se llaman parámetros.

Ahora bien, los matemáticos se ahorran habitualmente la molestia de explicar cuáles de sus variables deben tratarse como «constantes» y cuáles como variables, consideradas correlacionadas en sus ecuaciones, utilizando letras del final del alfabeto para las variables «variables», y letras del principio del alfabeto para las variables «constantes», o parámetros.

Los dos sistemas se encuentran de manera natural hacia la mitad del alfabeto. A veces es necesaria una palabra o dos de explicación; pero, en realidad, la costumbre y el sentido común suelen ser suficientes, y causa sorprendentemente poca confusión un procedimiento que parece tan laxo.

El resultado de esta continua eliminación de números definidos mediante capas sucesivas de parámetros es que la cantidad de aritmética realizada por los matemáticos es extremadamente pequeña.

A muchos matemáticos les disgusta todo cálculo numérico y no son particularmente expertos en él. El territorio de la aritmética termina allí donde las dos ideas de «variables» y de «forma algebraica» comienzan a ejercer su dominio.