VII

par $(x, y)$ y el par «real» $(a, 0)$ , encontramos $(a, 0) \times (x, y) = (a x, a y) .$

Así, el efecto es simplemente multiplicar cada término del par $(x, y)$ por el número real positivo o negativo $a$ .

En segundo lugar, al multiplicar el par «imaginario complejo» $(x, y)$ por el par «imaginario puro» $(0, b)$ , obtenemos $(0, b) \times (x, y) = (- b y, b x) .$

Aquí el efecto es más complicado, y se comprende mejor en la interpretación geométrica a la que procedemos tras observar tres casos aún más especiales.

En tercer lugar, multiplicamos el par «real» $(a, 0)$ por el imaginario $(0, b)$ y obtenemos $(a, 0) \times (0, b) = (0, a b) .$

En cuarto lugar, multiplicamos las dos parejas «reales» $(a, 0)$ y $(a^{'}, 0)$ y obtenemos $(a, 0) \times (a^{'}, 0) = (a a^{'}, 0) .$

En quinto lugar, multiplicamos las dos «parejas imaginarias» $(0, b)$ y $(0, b^{'})$ y obtenemos $(0, b) \times (0, b^{'}) = (- b b^{'}, 0) .$

Pasamos ahora a la interpretación geométrica, comenzando primero con algunos casos especiales.

Tomemos los pares $(1, 3)$ y $(2, 0)$ y consideremos la ecuación $(2, 0) \times (1, 3) = (2, 6) .$ 11

En el diagrama ([fig.]11), el vector $O P$ representa $(1, 3)$ , el vector $O N$ representa $(2, 0)$ y el vector $O Q$ representa $(2, 6)$ . Por tanto, el producto $(2, 0) \times (1, 3)$ se halla geométricamente tomando la longitud del vector $O Q$ como el producto de las longitudes de los vectores $O P$ y $O N$ , y (en este caso) prolongando $O P$ hasta $Q$ para que tenga la longitud requerida. Consideremos de nuevo el producto $(0, 2) \times (1, 3)$ , tenemos $(0, 2) \times (1, 3) = (- 6, 2) .$

El vector $O N_{1}$ corresponde a $(0, 2)$ y el vector $O R$ a $(- 6, 2)$ . Por tanto, $O R$ que

representa que el nuevo producto forma un ángulo recto con $O Q$ y es de la misma longitud. Obsérvese que tenemos la misma ley que regula la longitud de $O Q$ que en el caso anterior, a saber, que su longitud es el producto de las longitudes de los dos vectores que se multiplican entre sí; pero ahora que tenemos $O N_{1}$ a lo largo del eje de «ordenadas» $O Y$ , en lugar de $O N$ a lo largo del eje de «abscisas» $O X$ , la dirección de $O P$ ha girado un ángulo recto.

Hasta ahora, en estos ejemplos de multiplicación, hemos considerado el vector $O P$ como modificado por los vectores $O N$ y $O N_{1}$ . Obtendremos una pista sobre la ley general de la dirección invirtiendo la forma de pensar y considerando los vectores $O N$ y $O N_{1}$ como modificados por el vector $O P$ . La ley para la longitud permanece inalterada; la longitud resultante es la longitud del producto de los dos vectores. La nueva dirección para el $O N$ ampliado (es decir, $O Q$ ) se encuentra rotándolo en la dirección (antihoraria) de rotación desde $O X$ hacia $O Y$ en un ángulo igual al ángulo $X O P$ : es un accidente de este caso particular que esta rotación haga que $O Q$ se encuentre a lo largo de la línea $O P$ . Consideremos de nuevo el producto de $O N_{1}$ y $O P$ ; la nueva dirección para el $O N_{1}$ ampliado (es decir, $O R$ ) se encuentra rotando $O N$ en la dirección antihoraria de rotación en un ángulo igual al ángulo $X O P$ , a saber, el ángulo $N_{1} O R$ es igual al ángulo $X O P$ .

La regla general para la representación geométrica de la multiplicación puede enunciarse ahora de la siguiente manera: 12