XIII

si se elige que $u$ tenga cualquier valor, los argumentos $u$ y $2\pi +u$, y $4\pi +u$, y $6\pi +u$, y $8\pi +u$ y así sucesivamente de forma indefinida, tienen todos los mismos valores para los senos y cosenos correspondientes. En otras palabras, {4} \sin u &= \sin(2\pi + u) &&= \sin(4\pi + u) &&= \sin(6\pi + u) &&= \text{etc.}; \ \cos u &= \cos(2\pi + u) &&= \cos(4\pi + u) &&= \cos(6\pi + u) &&= \text{etc.}

Este hecho se expresa diciendo que $\sin u$ y $\cos u$ son funciones periódicas con un periodo igual a $2\pi$.

La gráfica de la función $y=\sin x$ (nótese que ahora abandonamos $v$ y $u$ por las más familiares $y$ y $x$) se muestra en la [fig.]28. Tomamos sobre el eje de las $x$ cualquier longitud arbitraria a voluntad para representar el número $\pi$, y sobre el eje de las $y$ cualquier longitud arbitraria a voluntad para representar el número $1$. Los valores numéricos del seno y el coseno nunca pueden exceder la unidad. Se observará la recurrencia de la figura después de períodos de $2\pi$. Esta gráfica representa el estilo más simple de función periódica, a partir del cual se construyen todas las demás. El coseno no aporta nada fundamentalmente diferente al seno. Pues es fácil demostrar que $\cos x=\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$; por lo tanto, se puede ver que la gráfica de $\cos x$ es simplemente la [fig.]28 modificada por

trazar el eje $OY$ a través del punto en $OX$ marcado ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, en lugar de dibujarlo en su posición real en la figura.

Es fácil construir una función «seno» en 28 cuyo periodo tenga cualquier valor asignado $a$. Pues solo tenemos que escribir $y=\sin \frac{2\pi x}{a},$ y entonces $\sin \frac{2\pi (x+a)}{a}$

= \sin \left(\frac{2\pi x}{a} + 2\pi\right) = \sin \frac{2\pi x}{a}.$ Por lo tanto, el periodo de esta nueva función es ahora $a$. Demos ahora una definición general de lo que

nos referimos a una función periódica. La función f ( x ) es periódica, con periodo a , si (i) para cualquier valor de