XV. El cálculo diferencial

Newton habría formulado la pregunta diciendo que, a medida que $h$ se aproxima a cero, en el límite $2x+h$ se convierte en $2x$. Es nuestra tarea explicar esta afirmación de tal modo que se muestre que en realidad no presupone encubiertamente la existencia de las cantidades infinitamente pequeñas de Leibniz.

Al releer el método de exposición newtoniano, tienta buscar la simplicidad diciendo que $2x+h$ es $2x$, cuando $h$ es cero. Pero esto no sirve; pues con ello se anula el intervalo de $x$ a $x+h$, sobre el cual se calculó el incremento medio.

El problema consiste en cómo mantener un intervalo de longitud $h$ sobre el cual calcular el incremento medio, y al mismo tiempo tratar a $h$ como si fuera cero. Newton hizo esto mediante la concepción de un límite, y ahora procedemos a dar la explicación de Weierstrass sobre su verdadero significado.

En primer lugar, obsérvese que, al analizar $2x+h$, hemos estado considerando que $x$ tiene un valor fijo y $h$ es variable.

En otras palabras, $x$ ha sido tratada como una variable «constante», o parámetro, tal como se explica en el capítulo IX; y en realidad hemos estado considerando $2x+h$ como una función del argumento $h$.

De ahí que podamos generalizar la cuestión que nos ocupa, y preguntar qué queremos decir al afirmar que la función $f(h)$ tiende al límite $l$, digamos, a medida que su argumento $h$ tiende al valor cero.

Pero, una vez más, veremos que el valor especial cero para el argumento no pertenece a la esencia del tema; y de nuevo generalizamos aún más, y preguntamos qué queremos decir al afirmar que la función $f(h)$ tiende al límite $l$ a medida que $h$ tiende al valor $a$.

Ahora bien, según la explicación de Weierstrass, la idea entera de que $h$ tiende al valor $a$, aunque ofrece una especie de imagen metafórica de lo que pretendemos lograr, en realidad carece por completo de sentido.

De hecho, es bastante obvio que, mientras conservemos algo parecido a que «$h$ tiende a $a$» como una idea fundamental, seguiremos atrapados en las garras de lo infinitamente pequeño; pues implícitamente admitimos la noción de que $h$ está infinitamente cerca de $a$. Esto es precisamente de lo que queremos librarnos.

Por consiguiente, volveremos a enunciar nuestra frase por explicar, y preguntaremos qué queremos decir al afirmar que el límite de la función $f(h)$ en $a$ es $l$.

El límite de $f(h)$ en $a$ es una propiedad del entorno de $a$, donde "entorno" se usa en el sentido definido en el capítulo XI durante la discusión de la continuidad de las funciones. El valor de la función $f(h)$ en $a$ es $f(a)$; pero el límite es distinto en su concepto del valor, y puede ser diferente de este, y puede existir cuando el valor no ha sido definido.

También usaremos el término "grado de aproximación" en el sentido en que está definido en el capítulo XI. De hecho, en la definición de "continuidad" dada hacia el final de ese capítulo hemos definido prácticamente un límite. La definición de un límite es:–-

Una función $f(x)$ tiene el límite $l$ en un valor $a$ de su argumento $x$, cuando en el vecindario de $a$ sus valores se aproximan a $l$ dentro de cualquier estándar de aproximación.

Compare esta definición con la ya dada para continuidad, a saber:–-