En consecuencia, cualquier regla debe poner de manifiesto que, aparte de los cambios diminutos, permanece en efecto con una longitud invariable; Asimismo, el segundo requisito es este: se establecerá una regla definida para los cambios diminutos que permita la expresión más sencilla de las leyes de la naturaleza. Por ejemplo, de acuerdo con el segundo requisito, se supone que las varas patrón se expanden y contraen con los cambios de temperatura según las sustancias de las que estén hechas.
Aparte de los hechos de que nuestras sensaciones van acompañadas de percepciones de localidad y de duración, y de que las líneas, las áreas, los volúmenes y las duraciones son, cada uno a su manera, cantidades, la teoría de los números sería de una utilidad muy secundaria en la exploración de las leyes del Universo. Tal como es, la ciencia física descansa sobre las ideas principales de número, cantidad, espacio y tiempo. Las ciencias matemáticas asociadas a ellas no forman la totalidad de las matemáticas, pero son el sustrato de la física matemática tal como existe en la actualidad.
Notas
AnoteA (60).–-Al leer estas ecuaciones debe observarse que en el simbolismo matemático se utiliza un paréntesis para indicar que las operaciones que contiene deben realizarse primero. Así, nos indica que primero debemos sumar a , y luego sumar al resultado; y nos indica que primero debemos sumar a , y luego sumar el resultado a . Asimismo, un ejemplo numérico de la ecuación (5) es Realizamos primero las operaciones entre paréntesis y obtenemos , lo cual es evidentemente verdad.
BnoteB (136).–-Esta relación fundamental se denomina excentricidad de la curva. La forma de la curva, a diferencia de su escala o tamaño, depende del valor de su excentricidad. Por lo tanto, es un error pensar que las elipses en general o las hipérbolas en general tienen en cualquiera de los casos una forma bien definida. Las elipses con diferentes excentricidades tienen diferentes formas, y sus tamaños dependen de las longitudes de sus ejes mayores. Una elipse con pequeña excentricidad es casi un círculo, y una elipse con una excentricidad solo ligeramente menor que la unidad es un óvalo largo y achatado. Todas las parábolas tienen la misma excentricidad y, por lo tanto, son de la misma forma, aunque se puedan trazar a diferentes escalas.
CnoteC (204).–-Si una serie con todos sus términos positivos es convergente, la serie modificada que se obtiene haciendo que algunos términos sean positivos y otros negativos según una regla definida también es convergente. Cada una de las series del conjunto así obtenido, incluida la serie original, se denomina "absolutamente convergente". Pero es posible que una serie con términos en parte positivos y en parte negativos sea convergente, aunque la serie correspondiente con todos sus términos positivos sea divergente. Por ejemplo, la serie es convergente, a pesar de que acabamos de demostrar que es divergente. Tales series convergentes, que no son absolutamente convergentes, son mucho más difíciles de tratar que las series absolutamente convergentes.
[Nota sobre el estudio de las matemáticas]Bibliografía
La dificultad que los principiantes encuentran en el estudio de esta ciencia se debe a la gran cantidad de detalles técnicos que se ha permitido que se acumulen en los libros de texto elementales, oscureciendo las ideas importantes.