tiene un solo vértice. Apolonio demostróCf. Ball, loc. cit., para este relato de Apolonio y Pappus. que la razón de a permanece constante tanto para la elipse como para la hipérbola (figs. [fig:16]16 y [fig:18]18), y que la razón de a es constante para la parábola de la [fig.]17; y basa la mayor parte de su obra en este hecho. Evidentemente estamos avanzando hacia la deseada definición uniforme que no sale del plano; pero aún no hemos alcanzado del todo la uniformidad.
En los diagramas [fig:16]16 y [fig:18]18 se verán marcados dos puntos, y , y en el [diagrama]17 un punto, . Estos son los focos de las curvas y son puntos de la mayor importancia.
Apolonio sabía que para una elipse la suma de y (es decir, ) es constante a medida que se mueve sobre la curva, y es igual a .
De manera similar, para una hipérbola, la diferencia es constante e igual a cuando está en una rama, y la diferencia es constante e igual a cuando está en la otra rama.
Pero ningún punto correspondiente parecía existir para la parábola.
Finalmente, años después, el último gran geómetra griego, Pappus de Alejandría, descubrió el secreto final que completaba esta línea de pensamiento. En los diagramas [fig:16]16 y [fig:18]18 se verán dos líneas, y , y en el [diagram]17 la única línea, . Estas son las directrices de las curvas, dos cada una para la elipse y la hipérbola, y una para la parábola. Cada directriz corresponde a su foco más cercano.
La propiedad característica de un foco, , y su directriz correspondiente, , para cualquiera de los tres tipos de curva, es que la razón
a es constante, donde es la perpendicular a la directriz desde , y es cualquier punto de la curva.
Aquí hemos encontrado por fin la propiedad deseada de las curvas que no requiere que abandonemos el plano, y se enuncia de manera uniforme para las tres curvas.
Para las elipses la razónCf. Nota B, noteB.136 es menor que , para las parábolas es igual a , y para las hipérbolas es mayor que .
Cuando Papo hubo terminado sus investigaciones, debió de sentir que, aparte de ampliaciones menores, el tema estaba prácticamente agotado; y si hubiera podido prever la historia de la ciencia durante más de mil años, eso habría confirmado su creencia.
Sin embargo, en verdad, las ideas realmente fructíferas en relación con esta rama de las matemáticas ni siquiera se habían rozado todavía, y nadie había intuido sus aplicaciones supremamente importantes en la naturaleza.
No se puede dar advertencia más impresionante a quienes confinan el conocimiento y la investigación a lo aparentemente útil que la reflexión de que las cónicas se estudiaron durante mil ochocientos años meramente como una ciencia abstracta, sin pensar en otra utilidad que la de satisfacer el anhelo de conocimiento por parte de los matemáticos, y que luego, al final de este largo periodo de estudio abstracto, se descubrió que eran la clave necesaria para alcanzar el conocimiento de una de las leyes más importantes de la naturaleza.