VII. Números imaginarios

Pero ¿cuál corresponde a cuál? ¿Corresponde ( 0 , 1 ) a + ( − 1 ) y ( 0 , − 1 ) a − ( − 1 ) , o ( 0 , 1 ) a − ( − 1 ) y ( 0 , − 1 ) a + ( − 1 ) ? La respuesta es que resulta totalmente indiferente qué simbolismo adoptemos.

Los pares ordenados pueden dividirse en tres tipos,

• (i) el tipo «imaginario complejo» $(x,y)$, en el cual ni $x$ ni $y$ son cero;
• (ii) el tipo «real» $(x,0)$;
• (iii) el tipo «imaginario puro» $(0,y)$.

Consideremos las relaciones de estos tipos entre sí. Multipliquemos primero entre sí el «imaginario complejo»

pareja $(x,y)$ y la pareja «real» $(a,0)$, hallamos $(a,0)\times (x,y)=(ax,ay).$

Así, el efecto es meramente multiplicar cada término del par $(x,y)$ por el número real positivo o negativo $a$.

En segundo lugar, si multiplicamos el par «imaginario complejo» $(x,y)$ por el par «imaginario puro» $(0,b)$, obtenemos $(0,b)\times (x,y)=(-by,bx).$

Aquí el efecto es más complicado, y se comprende mejor en la interpretación geométrica a la que pasamos después de señalar tres casos aún más especiales.

En tercer lugar, multiplicamos la pareja «real» $(a,0)$ por la imaginaria $(0,b)$ y obtenemos $(a,0)\times (0,b)=(0,ab).$

En cuarto lugar, multiplicamos las dos parejas «reales» $(a,0)$ y $(a^{\prime },0)$ y obtenemos $(a,0)\times (a^{\prime },0)=(a{a}^{\prime },0).$

En quinto lugar, multiplicamos las dos «parejas imaginarias» $(0,b)$ y $(0,b^{\prime })$ y obtenemos $(0,b)\times (0,b^{\prime })=(-b{b}^{\prime },0).$

Pasamos ahora a la interpretación geométrica, comenzando primero con algunos casos especiales.

Toma las parejas $(1,3)$ y $(2,0)$ y considera la ecuación $(2,0)\times (1,3)=(2,6).$ 11

En el diagrama ([fig.]11) el vector $OP$ representa $(1,3)$, y el vector $ON$ representa $(2,0)$, y el vector $OQ$ representa $(2,6)$. Así, el producto $(2,0)\times (1,3)$ se halla geométricamente tomando la longitud del vector $OQ$ como el producto de las longitudes de los vectores $OP$ y $ON$, y (en este caso) prolongando $OP$ hasta $Q$ para que tenga la longitud requerida. De nuevo, consideremos el producto $(0,2)\times (1,3)$, tenemos $(0,2)\times (1,3)=(-6,2).$

El vector $O{N}_1$ corresponde a $(0,2)$ y el vector $OR$ a $(-6,2)$. Por lo tanto, $OR$, que representa al nuevo producto, es perpendicular a $OQ$ y tiene la misma longitud.

Nótese que tenemos la misma ley que regula la longitud de $OQ$ que en el caso anterior, a saber, que su longitud es el producto de las longitudes de los dos vectores que se multiplican juntos; pero ahora que tenemos $O{N}_1$ a lo largo del eje de "ordenadas" $OY$, en lugar de $ON$ a lo largo del eje de "abscisas" $OX$, la dirección de $OP$ ha girado un ángulo recto.