Pero indirectamente este instrumento mide ángulos. Pues cuando se ha anotado el tiempo transcurrido entre los tránsitos de dos estrellas, mediante la suposición de la rotación uniforme de la tierra, obtenemos el ángulo que la tierra ha girado en ese período de tiempo.
A su vez, mediante otros instrumentos, el ángulo entre dos estrellas puede medirse directamente. Pues si es el ojo del astrónomo, 22 y y son las direcciones en las que se ven las estrellas, es fácil idear instrumentos que midan el ángulo .
Por lo tanto, cuando el astrónomo está levantando un mapa de los cielos, está, de hecho, midiendo ángulos para fijar las direcciones relativas de las estrellas y los planetas en cualquier instante.
De nuevo, en el problema análogo de la geodesia, los ángulos son el objeto principal de las mediciones.
Las mediciones directas de la longitud solo son posibles en raras ocasiones con alguna precisión; los ríos, las casas, los bosques, las montañas y las irregularidades generales del terreno se interponen en el camino.
El levantamiento de todo un país dependerá únicamente de una o dos mediciones directas de la longitud, realizadas con el mayor esmero en lugares seleccionados como la llanura de Salisbury. La labor principal de un levantamiento es la medición de ángulos.
Por ejemplo, , y serán puntos conspicuos en el distrito que se va a levantar, digamos las cimas de las torres de las iglesias. Estos puntos son visibles los unos desde los otros.
Luego es muy sencillo medir en el ángulo , en el ángulo y en el ángulo .
Teóricamente, solo es necesario medir dos de estos ángulos; pues, por una conocida proposición de la geometría, la suma de los tres ángulos de un triángulo equivale a dos rectos, de modo que, cuando se conocen dos de los ángulos, se puede deducir el tercero.
Sin embargo, en la práctica es mejor medir los tres, y así se pueden corregir pequeños errores de observación.
En el proceso de cartografía, un país se cubre completamente de triángulos de este modo. Este proceso se llama triangulación y es el procedimiento fundamental en un levantamiento topográfico.
Ahora bien, cuando se conocen todos los ángulos de un triángulo, se conoce su forma; es decir, la forma en contraposición al tamaño. Llegamos aquí al gran principio de la semejanza geométrica. La idea nos resulta muy familiar en sus aplicaciones prácticas. Todos estamos familiarizados con la idea de un plano dibujado a escala. Así, si la escala de un plano es de una pulgada por yarda, una longitud de tres pulgadas en el plano representa una longitud de tres yardas en el original. Asimismo, las formas representadas en el plano son las formas del original, de modo que un ángulo recto en el original aparece como un ángulo recto en el plano. De manera similar, en un mapa, que no es más que el plano de un país, las proporciones de las longitudes en el mapa son las proporciones de las distancias entre los lugares indicados, y las direcciones en el mapa son las direcciones en el país. Por ejemplo, si en el mapa un lugar está al nor-noroeste de otro, también lo está en la realidad; es decir, en un mapa los ángulos son los mismos que en la realidad.
La semejanza geométrica puede definirse así: * Dos figuras son semejantes (i) si a cualquier punto de una figura le corresponde un punto de la otra, de modo que a cada línea le corresponda una línea y a cada ángulo un ángulo, y (ii) si las longitudes