Secciones cónicas

En el diagrama, las partes de las curvas que se supone que yacen detrás del plano del papel se representan con líneas de puntos, y las partes que están sobre el plano o frente a él son líneas continuas. Supóngase ahora que este cono doble es cortado por un plano que no es perpendicular al eje C V C ′ , o al menos no necesariamente perpendicular a él. Entonces pueden presentarse tres casos:–

(1) El plano puede cortar el cono en una curva ovalada cerrada, tal como $A B A^{'} B^{'}$ , que se encuentra enteramente en uno de los dos medios conos. En este caso, el plano no intersectará en absoluto al otro medio cono. Dicha curva se llama elipse; es una curva ovalada. Un caso particular de tal sección del cono ocurre cuando el plano es perpendicular al eje $C V C^{'}$ , entonces la sección, tal como $S T U$ o $P Q R$ , es una circunferencia. De ahí que la circunferencia sea un caso particular de la elipse.

(2) El plano puede compararse con un plano tangente que toca al cono a lo largo de una de sus líneas «generatrices», como por ejemplo el plano de la curva $D_{1} A_{1} D_{1}^{'}$ en el diagrama es paralelo al plano tangente que toca al cono a lo largo de la generatriz $V S$ ; la curva sigue estando confinada en uno de los semiconos, pero ahora no es una curva ovalada cerrada, sino que se extiende indefinidamente mientras las generatrices del semicono se prolonguen alejándose del vértice. Tal sección cónica se llama parábola.

(3) El plano puede cortar a ambos semiconos, de modo que la curva completa consta de dos porciones separadas, o «ramas» como se les llama, y este caso se ilustra con las dos ramas $G_{2} A_{2} G_{2}^{'}$ y $L_{2} A_{2}^{'} L_{2}^{'}$ que juntas forman la curva. Ninguna de las ramas es cerrada; cada una de ellas se extiende indefinidamente a medida que los dos semiconos se prolongan alejándose del vértice. Dicha sección cónica se llama hipérbola.

Hay por lo tanto tres tipos de secciones cónicas, a saber, elipses, parábolas e hipérbolas.

Es fácil ver que, en cierto sentido, las parábolas son casos límite que se encuentran entre las elipses y las hipérbolas. Forman una clase más especial y deben satisfacer una condición más particular.

Estos tres nombres se deben aparentemente a Apolonio de Pérgamo (nacido hacia el 260 y muerto hacia el 200 a. C.), quien escribió un tratado sistemático sobre las secciones cónicas que siguió siendo la obra de referencia hasta el siglo XVI.

Debe resultar evidente de inmediato cuán engorrosa y difícil debió de ser para los geómetras griegos la investigación de las propiedades de estas curvas.

Las curvas son curvas planas, y sin embargo su investigación implica el dibujo en perspectiva de una figura sólida. Así, en el diagrama dado más arriba prácticamente no hemos trazado ninguna línea auxiliar y, sin embargo, la figura es bastante complicada.

Las curvas son curvas planas, y parece evidente que deberíamos poder definirlas sin necesidad de salir del plano hacia una figura sólida. Al mismo tiempo, así como en la definición «sólida» hay un método uniforme de definición —a saber, la sección de un cono por un plano— que produce tres casos, también en cualquier definición «plana» debería haber un método uniforme de procedimiento que se divida en tres casos.

Sus formas al ser dibujadas en sus planos son las de las líneas curvas en las tres figuras [fig:16]16, [fig:17]17 y [fig:18]18. Los puntos $A$ y $A^{'}$ en las figuras se llaman

18 los vértices y la línea $A A^{'}$ el eje mayor. Se observará que una parábola (v. [fig.] 17)