El producto de los dos vectores y es un vector , cuya longitud es el producto de las longitudes de y y cuya dirección es tal que el ángulo es igual a la suma de los ángulos y .
Por tanto, podemos concebir el vector haciendo que el vector gire un ángulo (es decir, ), o el vector haciendo que el vector gire el ángulo (es decir, ).
No demostramos esta ley general, ya que nosotros
debería, por tanto, conducir a procesos matemáticos más técnicos de los que entran en el diseño de este libro. Pero ahora podemos ver inmediatamente que la ley asociativa [numerada () arriba] para la multiplicación se cumple. Consideremos primero la longitud del vector resultante; esta se obtiene mediante el proceso ordinario de multiplicación para números reales; y, por tanto, la ley asociativa se cumple para ella.
De nuevo, la dirección del vector resultante se obtiene mediante la simple suma de ángulos, y la ley asociativa también se cumple para este proceso.
Hasta aquí con la multiplicación. Hemos indicado ahora rápidamente, al considerar la suma y la multiplicación, cómo puede construirse un álgebra o «cálculo» de vectores en un plano, de tal manera que cualesquiera dos vectores en el plano puedan sumarse, o restarse, y puedan multiplicarse, o dividirse el uno por el otro.
No hemos considerado los detalles técnicos de todos estos procesos porque nos llevaría demasiado lejos hacia detalles matemáticos; pero hemos mostrado el modo general de procedimiento. Cuando interpretamos nuestros símbolos algebraicos de esta manera, se dice que estamos empleando "cantidades imaginarias" o "complejas
cantidades". Estos términos son meros detalles, y tenemos demasiado en qué pensar como para detenernos a indagar si están o no muy acertadamente elegidos.
El resultado neto de nuestras investigaciones es que
Cualquier ecuación como o puede ahora interpretarse siempre en términos de vectores, y encontrar soluciones para ellas. Al buscar tales interpretaciones, es conveniente notar que se convierte en , se convierte en , y se convierte en el par «desconocido» : de modo que las dos ecuaciones se convierten, respectivamente, en y .
Hemos resuelto ya por completo las dificultades iniciales que llamaron nuestra atención tan pronto como consideramos incluso los elementos del álgebra. La ciencia, tal como emerge de la solución, es mucho más compleja en ideas que aquella con la que comenzamos. Hemos creado, de hecho, una ciencia nueva y completamente diferente, que servirá para todos los propósitos para los que se inventó la antigua y para muchos más además. Pero, antes de que podamos felicitarnos por este resultado de nuestras labores, debemos disipar una sospecha que a estas alturas debería haber surgido en la mente del estudiante. La pregunta que el lector debería estarse haciendo es: ¿Dónde va a terminar toda esta invención de nuevas interpretaciones? Es cierto que hemos logrado interpretar el álgebra de modo que siempre seamos capaces de resolver una ecuación cuadrática como ; pero hay un número infinito de otras ecuaciones, por ejemplo, , , y así sucesivamente sin límite. ¿Tenemos que hacer una