VII

Números imaginarios

Si las ideas matemáticas tratadas en el

último capítulo han sido un éxito popular, las del presente capítulo han suscitado casi la misma atención general. Pero su éxito ha sido de un carácter distinto, ha sido lo que los franceses denominan un succès de scandale. No solo el hombre práctico, sino también los hombres de letras y los filósofos han expresado su desconcierto ante la devoción de los matemáticos por entidades misteriosas que, por su propio nombre, se confiesan imaginarias. En este punto, puede ser útil observar que cierto tipo de intelecto siempre se está preocupando a sí mismo y a los demás con discusiones sobre la aplicabilidad de los términos técnicos. ¿Se llama correctamente números a los números inconmensurables? ¿Son realmente números los números positivos y negativos? ¿Son imaginarios los números imaginarios, y son números? —son tipos de tales preguntas fútiles. Ahora bien, no se puede entender con demasiada claridad que, en ciencia, los términos técnicos son nombres asignados arbitrariamente, como los nombres de pila

nombres a los niños. No puede haber duda de que los nombres sean correctos o incorrectos. Pueden ser juiciosos o injudiciosos; pues a veces pueden disponerse de tal modo que sean fáciles de recordar, o de tal modo que sugieran ideas relevantes e importantes. Pero el principio esencial implicado fue enunciado con toda claridad en el País de las Maravillas a Alicia por Humpty Dumpty, cuando le dijo, a propósito de su uso de las palabras: «Les pago un extra y hago que signifiquen lo que yo quiero». Así que no nos preocuparemos por si los números imaginarios son imaginarios, o por si son números, sino que tomaremos la frase como el nombre arbitrario de cierta idea matemática, que ahora nos esforzaremos por aclarar.

El origen de la concepción es en todos los aspectos similar al de los números positivos y negativos. De la misma manera exacta, se debe a las tres grandes ideas matemáticas de la variable, la forma algebraica y la generalización. Los números positivos y negativos surgieron de la consideración de ecuaciones como $x+1=3$, $x+3=1$ y la forma general $x+a=b$. De forma similar, el origen de los números imaginarios se debe a ecuaciones como $x^2+1=3$, $x^2+3=1$ y $x^2+a=b$. Se sigue exactamente el mismo proceso. La ecuación $x^2+1=3$ se convierte en $x^2=2$, y esta tiene dos soluciones, ya sea $x=+\sqrt{2}$ o $x=-\sqrt{2}$. La afirmación de que existen estas alternativas

las soluciones se escriben habitualmente $x=\pm \sqrt{2}$. Hasta aquí todo va sobre ruedas, igual que en el caso anterior. Pero ahora surge una dificultad análoga. Pues la ecuación $x^2+3=1$ da $x^2=-2$, y no existe ningún número positivo o negativo que, multiplicado por sí mismo, dé un cuadrado negativo. Por tanto, si nuestros símbolos han de significar los números positivos o negativos ordinarios, no hay solución para $x^2=-2$, y la ecuación es, de hecho, un sinsentido. Así, tomando finalmente la forma general $x^2+a=b$, hallamos el par de soluciones $x=\pm \sqrt{(b-a)}$, cuando, y solo cuando, $b$ no es menor que $a$. En consecuencia, no podemos decir sin restricciones que las "constantes" $a$ y $b$ pueden ser cualquier número, es decir, las "constantes" $a$ y $b$ no son, como deberían ser, "variables" independientes sin restricciones; y así, de nuevo, una multitud de limitaciones y restricciones se acumularán en torno a nuestro trabajo a medida que avancemos.