XIV

De ahí que las tres líneas que deben añadirse formen una serie cuyo primer término es la línea superior. Esta serie sigue el método artístico de presentar el término más importante al final, no por ningún sentido del arte, sino por la conveniencia que se obtiene al mantener un control firme sobre el lugar de las unidades, permitiéndonos así omitir algunos $0$, formalmente necesarios.

Pero cuando aproximamos gradualmente

al sumar los términos sucesivos de una serie infinita, ¿a qué nos estamos aproximando? La dificultad reside en que la serie no tiene una «suma» en el sentido estricto de la palabra, porque la operación de sumar sus términos nunca puede completarse. La respuesta es que nos estamos aproximando al límite de la suma de la serie, y ahora debemos

A continuación, explicaré qué es el «límite» de una serie.

La suma de una serie se aproxima a un límite cuando la suma de cualquier número de sus términos, siempre que dicho número sea lo suficientemente grande, es tan cercana al límite como uno desee aproximarse. Pero esta descripción del significado de aproximarse a un límite, evidentemente, no resistiría el riguroso examen de las matemáticas modernas. ¿Qué se entiende por suficientemente grande, por casi igual y por desear aproximarse? Todas estas frases vagas deben explicarse en términos de las ideas abstractas simples que son las únicas admitidas en la matemática pura.

Sean los términos sucesivos de la serie $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$, , $u_n$, etc., de modo que $u_n$ sea el término $n$-ésimo de la serie. Sea también $s_n$ la suma de los $n$ primeros términos, sea cual sea $n$. De modo que:–-

$$\begin{gathered} s_1=u_1,s_2=u_1+u_2,s_3=u_1+u_2+u_3,\text{y} \\ {s}_n=u_1+u_2+u_3+\dots +u_n. \end{gathered}$$

Entonces los términos $s_1$, $s_2$, $s_3$, , $s_n$, forman una nueva serie, y la formación de esta serie es el proceso de suma de la serie original. Entonces la "aproximación" de la suma de la serie original a un "límite" significa la "aproximación de los términos de esta nueva serie a un límite". Y tenemos

ahora, explicar qué queremos decir con la aproximación a un límite de los términos de una serie.

Ahora, recordando la definición (dada en el [capítulo] XII) de un estándar de aproximación,

La idea de un límite significa lo siguiente: $l$ es el límite de los términos de la serie $s_1$, $s_2$, $s_3$, , $s_n$, , si, para cada número real $k$, tomado como estándar de aproximación, se puede encontrar un término $s_n$ de la serie de modo que todos los términos siguientes (es decir, $s_{n+1}$, $s_{n+2}$, etc.) se aproximen a $l$ dentro de ese estándar de aproximación. Si se elige otro estándar más pequeño $k^1$, el término $s_n$ puede ser demasiado temprano en la serie, y entonces se encontrará un término posterior $s_m$ con la propiedad anterior.

Si esta propiedad se cumple, es evidente que a medida que se avanza en la serie $s_1$, $s_2$, $s_3$, ..., $s_n$, de izquierda a derecha, llega un momento en que se obtienen términos que están más cerca de $l$ que cualquier número que se desee asignar. En otras palabras, se aproxima a $l$ tanto como se quiera. La estrecha relación de esta definición del límite de una serie con la definición de función continua dada en el [capítulo] XI será percibida de inmediato.

Luego, volviendo a la serie original $u_1$, $u_2$, $u_3$, , $u_n$, , el límite de los términos de la serie $s_1$, $s_2$, $s_3$, , $s_n$, , se denomina «suma al infinito» de la serie original. Pero es evidente que este uso de la palabra