XIII. Trigonometría

Tras esta digresión sobre el valor de $\pi$, volvemos ahora a la cuestión de la definición general de la magnitud de un ángulo, con el fin de poder producir un ángulo correspondiente a cualquier valor $u$. Supongamos que un punto móvil, $Q$, parte de $A$ sobre $OX$ (véase la [fig.] 27) y gira en dirección positiva (en sentido contrario a las agujas del reloj, en la figura considerada) alrededor de la circunferencia del círculo un número cualquiera de veces, para detenerse finalmente en cualquier punto, por ejemplo en $P$ o $P^{\prime }$ o $P^{″}$ o $P^{‴}$. Entonces, la longitud total del camino circular curvilíneo recorrido, dividida por el radio del círculo, $r$, es la definición generalizada de un ángulo positivo de cualquier tamaño. Sean $x$, $y$ las coordenadas del punto en el que se detiene el punto $Q$, es decir, en una de las cuatro posiciones alternativas mencionadas en la [fig.] 27; $x$ e $y$ (tal como se utilizan aquí) serán $x$ e $y$, o bien $x^{\prime }$ e $y$, o bien $x^{\prime }$ e $y^{\prime }$, o bien $x$ e $y^{\prime }$.

Entonces el seno de este ángulo generalizado es ${\displaystyle \frac{y}{r}}$ y su coseno es ${\displaystyle \frac{x}{r}}$. Con estas definiciones, las relaciones funcionales $v=\sin u$ y $w=\cos u$ quedan por fin definidas para todos los valores reales positivos de $u$. Para los valores negativos de $u$ simplemente tomamos la rotación de $Q$ en la dirección opuesta (en el sentido de las agujas del reloj); pero no vale la pena extendernos más en este punto, una vez que se ha explicado el método general de procedimiento.

Estas funciones de seno y coseno, tal como han sido definidas, nos permiten abordar los problemas relativos al triángulo a partir del cual surgió la Trigonometría. Pero ahora nos encontramos en condiciones de relacionar la Trigonometría con la idea más amplia de periodicidad, cuya importancia se explicó en el capítulo anterior.

Es fácil ver que las funciones $\sin u$ y $\cos u$ son funciones periódicas de $u$. Pues consideremos la posición, $P$ (en la [fig.] 27), de un punto móvil, $Q$, que ha partido de $A$ y ha girado alrededor de la circunferencia. Esta posición, $P$, determina los ángulos ${\displaystyle \frac{\text{arc }AP}{r}}$, y $2\pi +{\displaystyle \frac{\text{arc }AP}{r}}$, y $4\pi +{\displaystyle \frac{\text{arc }AP}{r}}$, y $6\pi +{\displaystyle \frac{\text{arc }AP}{r}}$, y así indefinidamente.

Ahora bien, todos estos ángulos tienen el mismo seno y coseno, a saber, ${\displaystyle \frac{y}{r}}$ y ${\displaystyle \frac{x}{r}}$. De ahí que sea fácil ver que, si se elige $u$ con cualquier valor, los argumentos $u$ y $2\pi +u$, y $4\pi +u$, y $6\pi +u$, y $8\pi +u$ y así indefinidamente, tienen todos los mismos valores para sus senos y cosenos correspondientes. En otras palabras,

{4} \sin u &= \sin(2\pi + u) &&= \sin(4\pi + u) &&= \sin(6\pi + u) &&= \text{etc.}; \ \cos u &= \cos(2\pi + u) &&= \cos(4\pi + u) &&= \cos(6\pi + u) &&= \text{etc.}

Este hecho se expresa diciendo que $\sin u$ y $\cos u$ son funciones periódicas con su período igual a $2\pi$.

La gráfica de la función $y=\sin x$ (notase que ahora abandonamos $v$ y $u$ por las más familiares $y$ y $x$) se muestra en la [fig.]28. Tomamos sobre el eje de las $x$ cualquier longitud arbitraria a voluntad para representar el número $\pi$, y sobre el eje de las $y$ cualquier longitud arbitraria a voluntad para representar el número $1$. Los valores numéricos del seno y del coseno nunca pueden superar la unidad. Se advertirá la recurrencia de la figura tras periodos de $2\pi$. Esta gráfica representa el estilo más simple de función periódica, a partir del cual se construyen todas las demás. El coseno no aporta nada fundamentalmente diferente del seno. Pues es fácil demostrar que $\cos x=\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$; de ahí que pueda verse que la gráfica de $\cos x$ es simplemente la [fig.]28 modificada trazando el eje $OY$ a través del punto en $OX$ marcado como ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, en vez de trazarlo en su posición real en la figura.